איבר נילפוטנטי

באלגברה מופשטת, איבר $x$ של חוג R הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם $x^m=0$ עבור m גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות של x.

דוגמאות

• בחוג $\mathbb{\mathbb{Z}}/4\mathbb{\mathbb{Z}}$ של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי $2^2=4\equiv 0(\mathrm{mod}4)$.
• המטריצה הריבועית $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים $A^3=0$.
• בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם $ab$ נילפוטנטי, אז גם $ba$ כזה, משום ש- $(ba{)}^{n+1}=b(ab{)}^{n}a$. לדוגמה, אם $a=e_{12}+e_{22}$ ו- $b=e_{12}$, כאשר $e_{ij}$ הן יחידות מטריצות, אז $ab=0$ ו- $ba=b$ נילפוטנטי מסדר 2.

אם x נילפוטנטי, אז $1-x$ איבר הפיך: $(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+x^3+\dots$; זהו איבר מוגדר היטב משום שהסכום סופי. בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי A הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידאל ראשוני.

ראו גם

• אידאל נילי