מרחב אי-פריק

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


מרחב אי-פריק X הוא מרחב טופולוגי לא ריק () שלא ניתן להציגו כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ל-X. מושג האי-פריקות שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית, בה נחקרות יריעות אלגבריות עם טופולוגיית זריצקי.

הגדרה

יהי מרחב טופולוגי. נאמר ש-X הוא אי-פריק (Irreducible) אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות (שהן שקולות):

  1. X איננו איחוד של שתי תת-קבוצות סגורות השונות ממש מ-X.
  2. כל שתי תת-קבוצות פתוחות לא ריקות נחתכות לקבוצה לא ריקה.
  3. כל תת-קבוצה פתוחה של X שאינה ריקה היא צפופה ב-X.

אם אחת מהתכונות מתקיימת, כולן מתקיימות. תכונה 1 שקולה לתכונה 2 על ידי לקיחת משלים של קבוצות ביחס ל-X. תכונה 3 היא בעצם ניסוח אחר של תכונה 2.

תת-קבוצה תיקרא אי-פריקה אם היא אי-פריקה בטופולוגיה המושרית כתת-מרחב של X.

תכונות

  • אם M היא קבוצה אי-פריקה אזי M היא קבוצה קשירה.
  • היא אי-פריקה אם ורק אם היא אי-פריקה.

מרכיב אי-פריק

תת-קבוצה אי-פריקה מקסימלית ב-X נקראת מרכיב אי-פריק (או רכיב אי-פריק). מההגדרה והתכונה שהוזכרה לעיל נובע שמרכיב אי-פריק הוא קבוצה סגורה (אחרת ו-M לא מקסימלית).

אם X הוא מרחב נתר אזי ל-X יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים והם מקיימים . בנוסף, כל תת-קבוצה אי-פריקה של X מוכלת באחד ממרכיבים אלה.

שימושים

בגאומטריה אלגברית קלאסית חוקרים יריעות אלגבריות, מדובר בקבוצות מהצורה

כאשר הוא אידאל ב-, חוג הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כאן, עם טופולוגיית זריצקי. בטופולוגיה זו, כל הקבוצות מהצורה מוגדרות להיות הקבוצות הסגורות, ואלה נקראות גם "קבוצות אלגבריות". קבוצה אלגברית היא אי-פריקה אם ורק אם הרדיקל של האידאל (כלומר ) הוא אידאל ראשוני.

דוגמאות