אי-שוויון הממוצעים

במתמטיקה, אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות.

את אי-השוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי-שוויון בין הממוצע הגאומטרי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה $a_{1}, \dots, a_{n}$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} \leq \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}

כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע הגאומטרי, והממוצע הגאומטרי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $a_{1}, \dots, a_{n}$ שווים זה לזה.

רקע

אם $a_{1}, \dots, a_{n}$ מספרים חיוביים, הרי

הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- $n$ : $A_{n} = \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$
הממוצע הגאומטרי הוא השורש ה- $n$ -י של מכפלתם: $G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}}$
הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: $H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}$

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה $a_{1}, \dots, a_{n}$ . לפי אי-שוויון הממוצעים, $H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n}$ .

במקרה $n = 2$ טענה זו קובעת כי $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ .

הוכחות

המקרה n=2

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

0 \leq (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 a b = (a + b)^{2} - 4 a b

כלומר:

4 a b \leq (a + b)^{2}

ולכן לאחר חלוקה ב-4 והוצאת שורש:

G_{2} = \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} = A_{2}

קל לראות כי $H_{2} A_{2} = G_{2}^{2}$ ולכן משום ש- $G_{2} \leq A_{2}$ בהכרח $H_{2} \leq G_{2}$ .

הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את אי-השוויון $G_{n} \leq A_{n}$ בשיטה הנקראת לעיתים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בנות $n$ מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות $2 n$ מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות $2^{m}$ מספרים, לכל $m$ . בנוסף לזה, הראה קושי שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח כי אי-השוויון $\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$ מתקיים לכל $a_{1}, \dots, a_{n}$ חיוביים. אז

\begin{aligned} \sqrt[2 n]{a_{1} \dots a_{2 n}} & = \sqrt{\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \cdot \sqrt[n]{a_{n + 1} \dots a_{2 n}}} \leq \sqrt{\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} \cdot \frac{a_{n + 1} + \dots + a_{2 n}}{n}} \\ \leq \frac{\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} + \frac{a_{n + 1} + \dots + a_{2 n}}{n}}{2} = \frac{a_{1} + \dots + a_{n} + a_{n + 1} + \dots + a_{2 n}}{2 n} \end{aligned}

כאשר אי-השוויון הראשון נובע מן ההנחה שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל $n$ , והשני מן המקרה $n = 2$ .

הצעד השני: נניח כי אי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל $n$ ; אם נתונים $a_{1}, \dots, a_{m}$ כאשר $m < n$ , נסמן $α = \frac{a_{1} + \dots + a_{m}}{m}$ ונקבל

\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{m} \cdot α^{n - m}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{m} + (n - m) α}{n} = α

ולכן $\sqrt[m]{a_{1} \dots a_{m}} \leq α$ .

את אי-השוויון $H_{n} \leq G_{n}$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את אי-השוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

f (\frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + \dots + f (x_{n})}{n}

לכל פונקציה $f$ קמורה. אם משתמשים בפונקציה $\exp$ , ומציבים $x_{i} = \ln (a_{i})$ , מתקבל

\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}

הכללות

אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב $a_{k}$ מספר פעמים, למשל $p_{k}$ .

אם $a_{1}, \dots, a_{n}$ חיוביים כמקודם ו- $p_{1}, \dots, p_{n}$ שלמים חיוביים וסכומם $P$ , אז אי-השוויון הופך להיות

\frac{P}{\frac{p_{1}}{a_{1}} + \dots + \frac{p_{n}}{a_{n}}} \leq \sqrt[P]{a_{1}^{p_{1}} \dots a_{n}^{p_{n}}} \leq \frac{p_{1} a_{1} + \dots + p_{n} a_{n}}{P}

באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים $p_{k}$ במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם $P = 1$ . כאשר כל המקדמים שווים ל- $\frac{1}{n}$ , מתקבל אי-שוויון הממוצעים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון הממוצעים

תוכן עניינים

רקע

הוכחות

המקרה n=2

הוכחתו של קושי

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

הכללות

תפריט ניווט

אי-שוויון הממוצעים

רקע

הוכחות

המקרה n=2

הוכחתו של קושי

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

הכללות

תפריט ניווט

חיפוש