שילוש זווית

שילוש זווית באמצעות רצועה (סרגל כפול – סרגל בעל שני צדדים ישרים מקבילים במרחק ידוע).
נתונה הזווית AOB (כחול), כאשר O מרכזו של מעגל, שעליו מונחות הנקודות A ו-B. ממשיכים את הקטע (הישר) AO עד לחיתוך עם המעגל בנקודה D, ומעבירים דרך D מקביל ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על המשך הישר OB נקודה X מחוץ למעגל, כך שהמרחק ממנה לנקודת החיתוך Y של המעגל עם DX שווה לרדיוס המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע בסרגל ומחוגה). הזווית EDX (אדום) שווה לשליש הזווית AOB

בגאומטריה אוקלידית, בעיית שילוש הזווית (טריסקציה) מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה. זוהי אחת מן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם שלא נמצא לה פתרון במשך 2000 שנה.

במאה ה-19 פותחה תורת גלואה שאפשרה להוכיח כי שילוש זווית אינו אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של משולש שווה-צלעות לא ניתן לשלש בסרגל ומחוגה.

אי אפשר לשלש בסרגל ומחוגה

מאז תחילת המאה ה-19 ידוע כי אי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית $60^{\circ }$ כי זו הזווית הפנימית במשולש שווה-צלעות. כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות כי לא ניתן לבנות זווית $20^{\circ }$ . נניח בשלילה שניתן לבנות זווית זו, אז ניתן לבנות קטע באורך $\cos (20^{\circ })$ בתור ניצב במשולש ישר-זווית עם זווית $20^{\circ }$ ויתר באורך 1. מזהויות טריגונומטריות פשוטות נובע כי

$4{\cos }^3(20^{\circ })-3\cos (20^{\circ })=\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}$

מכאן $\cos (20^{\circ })$ הוא שורש של הפולינום $8x^3-6x-1$ . זהו פולינום אי-פריק מעל השדה המספרים הרציונליים (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן $\cos (20^{\circ })$ הוא מספר אלגברי מדרגה 3, והשדה $\mathbb{\mathbb{Q}}[\cos (20^{\circ })]$ הוא בעל ממד 3 מעל הרציונליים.

מספר מרוכב ניתן לבניה אם ורק אם הוא שייך לשדה בקצה שרשרת של הרחבות ריבועיות של הרציונליים (כי בניות בסרגל ומחוגה מתקבלות מחיתוכים בין ישרים ומעגלים שמניבים הרחבות ריבועיות). הממד של שדות כאלה הוא כמובן חזקת 2, אבל 3 אינו חזקה של 2, ומכאן שאי אפשר לבנות זווית 20 מעלות.

שילוש זווית בכלים אחרים

עם זאת, אפשר לשלש זוויות אם נעזרים בכלים נוספים (מלבד סרגל ומחוגה):

• היפיאס (במאה ה-5 לפנה"ס) הראה שבעזרת קוואדרטריקס ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים, ולמעשה לכל מספר שלם של חלקים. (שמו של עקום זה בא לו מיכולתו לרבע את המעגל).

שיטה זו ניתנת לתיאור נוסף: נניח ש-$P$ נקודה על שפת מעגל ברדיוס $R$ ; המקום הגאומטרי של כל הנקודות המתקבלות מהמשכת הישר העובר ב-$P$ דרך נקודה $X$ על המעגל, למרחק של $R$ , מאפשר לשלש כל זווית קטנה מ-135° אשר קודקודה הוא מרכז המעגל.

• ארכימדס הראה שניתן לשלש זווית בעזרת מחוגה ורצועה (סרגל כפול – סרגל בעל שני צדדים ישרים מקבילים במרחק ידוע). ראו איור משמאל.
• ניקומדס (במאה ה-2 לפנה"ס) הראה שאפשר לשלש זווית אם נעזרים בקונכואידה.
• אטיין פסקל, אביו של בלז פסקל, הראה שניתן לשלש זווית באמצעות קרדיואידה; שיטה זו דומה לשיטתו של ניקומדס.

משפט מורלי

משפט מורלי: המשולש האדום הוא שווה-צלעות

משפט מורלי (שהתגלה על ידי פרנק מורלי (Frank Morley) ב-1904) קובע שאם משלשים את שלוש הזוויות של משולש, נקודות המפגש של הקרניים יוצרות משולש שווה-צלעות, כבאיור משמאל.

קישורים חיצוניים

• שילוש זווית, באתר MathWorld (באנגלית)