הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

רק במאה ה-19 הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבנייה הגאומטרית (סרגל ומחוגה),[דרושה הבהרה] המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נודעת נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת אקסיומת המקבילים, האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך האקסיומות האחרות.

הכפלת נפחה של קובייה

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הכפלת הקובייה

הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קובייה, לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול.[2]

היפוקרטס מכיוס ניסח מחדש את הבעיה, כך שנדרשת מציאת שני ממוצעים גאומטריים עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. הוא ומנכמוס הראו שאפשר לפתור בעיה זו על ידי חיתוך פרבולה והיפרבולה, או שתי פרבולות כמו ו- .

במאה השנייה לפני הספירה הראה דיוקלס כיצד להכפיל את הקוביה באמצעות הציסואידה. ניוטון השתמש לצורך כך בעקום החלזון של פסקל, ה-limacon.

הכפלת הקוביה דורשת בניית קטע שאורכו , והיום ידוע שזה מספר שאינו ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. לכן לא ניתן להכפיל את הקובייה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.

תרבוע העיגול

בעיית תַּרְבּוּעַ העיגול (או ריבוע העיגול) דורשת לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת 1775 החליטה האקדמיה הצרפתית למדעים שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו. למעשה אפשר ליצור קו ישר באורך פאי על ידי מדידת ההיקף בחבל, אבל פיתרון מסוג זה לא מתקבל במסגרת הכללים.

שטחו של מעגל שווה ל-πR2, כלומר רדיוסו בחזקה שנייה כפול פאי, ושטחו של ריבוע הוא , כלומר צלעו בחזקה שנייה. מכך מתקבל שעלינו לבנות קטע שאורכו הוא הרדיוס כפול שורש פאי. מתכונותיו של שדה המספרים הניתנים לבנייה נגזר שאם ניתן לבנות קטע באורך ניתן גם לבנות קטע באורך , ולהפך.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן הקובע שעבור כל α אלגברי שאינו 0, הוא מספר טרנסצנדנטי. מכאן ניתן להוכיח בשלילה שפאי טרנסצנדנטי. נניח שפאי הוא מספר אלגברי. מכיוון ש-i (השורש הריבועי של 1-) אלגברי, גם המכפלה של i ופאי אלגברית. זהות אוילר קובעת כי , ולכן 1- הוא טרנצנדנטי, מה שבבירור לא נכון. מכאן נובע ש־ הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי.

חלוקה לשלוש (טריסקציה) של זווית

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – שילוש זווית

בעיה זו דורשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים. מתברר שאפילו את הזווית של שישים מעלות לא ניתן לחלק לשלושה, כלומר, לא ניתן לבנות במחוגה וסרגל זווית של עשרים מעלות. הראשון שהוכיח תוצאה זו היה Pierre Laurent Wantzel‏, (1814--1869), ב-1837.[3]

עם זאת, תחת ההיתר לסמן על הסרגל סימן אחד, הבעיה פתירה[4].

בנית מצולע משוכלל בן שבע צלעות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משובע

ראו בנייה בסרגל ובמחוגה לדיון כללי בבנייה של מצולעים משוכללים.

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ עד 7 צלעות אפשר לבנות כל מצולע
  2. ^ קיימת אגדה מיתולוגית על היוולדות הבעייה
  3. ^ Journal de Math. 2 (1837),366--372.
  4. ^ מ.י. ויגודסקי, תקציר המתמטיקה האלמנטרית, בהוצאת "מדע", מוסקבה, 1974, מהדורה כ"ג. חלק ד', פרק א', סימן 11.
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0