גרעין (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הגרעין של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האברים שההומומורפיזם מעביר אל האבר הנייטרלי. הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה $f:A\to B$ ב-$\mathrm{Ker}(f)$ או $\ker (f)$.

דוגמאות

• אם $T:V\to W$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו $\mathrm{Ker}(T)=\{v\in V:T(v)=0\}$ הוא תת-מרחב של $V$, שממדו $\dim (V)-\mathrm{rank}(T)$.
• אם $f:G\to H$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in G:f(v)=1\}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $G/\mathrm{Ker}(f)$ איזומורפית לתמונה $\mathrm{Im}(f)$.
• אם $f:R\to S$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in R:f(v)=0\}$ הוא אידאל דו-צדדי, וחוג המנה $R/\mathrm{Ker}(f)$ איזומורפי לתמונה $\mathrm{Im}(f)$.
• אם $f:M\to N$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in M:f(v)=0\}$ הוא תת-מודול של $M$, ומודול המנה $M/\mathrm{Ker}(f)$ איזומורפי לתמונה $\mathrm{Im}(f)$.
• ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה עם נקודה (pointed set). אם $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in X:f(x)=y_0\}$.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

• מרחב פתרונות