משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט ארצלה-אסקולי (נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת־לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי

אם $K$ הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב־$C(K)$ את מרחב הפונקציות הרציפות $f:K\to \mathbb{ℂ}$ , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת $L$־אינסוף": $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in K}{\sup }|f(x)|$ .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה $A$ של $C(K)$ היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארזלה אסקולי: תהי $A\subseteq C(K)$ קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב־$A$ קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם $A$ רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם $A\subseteq C(K)$ סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז $A$ קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

הוכחה: ממשפט ארזלה-אסקולי נובע כי אם $A$ חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש־$A$ סגורה קובע כי תת־סדרה זו מתכנסת לתוך $A$ . מכאן ש־$A$ מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

מסקנה: אופרטור האינטגרל $T:C(K)\to C(K)$ המוגדר $T(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(s,t)f(t)dt$ , כאשר $k$ גרעין רציף על $K\times K$ , הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט

כיוון ראשון

תהי $A\subseteq C(K)$ קבוצה חסומה ונניח שאברי $A$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב־$A$ יש תת־סדרה מתכנסת. תהי $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרת פונקציות ב־$A$ . תהי $\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה צפופה ב־$K$ (קיימת כזאת כי $K$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה $\{f_n(x_1){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ . זוהי סדרה חסומה ב־$\mathbb{ℂ}$ בפרט יש לה תת־סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב־$\{f_n^1(x_1){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה ב־${\xi }_1$ . כעת נתבונן בסדרה $\{f_n^1(x_2){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ . גם זו סדרה חסומה ב־$\mathbb{ℂ}$ לפיכך יש לה תת־סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב־$\{f_n^2(x_2){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה ב־${\xi }_2$ . וכך בתהליך איטרטיבי לכל $m\in \mathbb{\mathbb{N}}$ נגדיר את הסדרה $\{f_n^m(x_m){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ להיות תת־סדרה מתכנסת של ${\{f_n^{m-1}(x_m)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה נסמן ב־${\xi }_m$ .

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון $\{g_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ המוגדרת לכל $n$ כך $g_n:=f_n^n$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאבר ה־$n$־י שלה הוא האבר ה־$n$־י בסדרה ה־$n$־ית).

1. זוהי תת־סדרה של $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ .
2. לכל $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$ הסדרה $\{g_n(x_k){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת ל־${\xi }_k$ שכן הזנב שלה $\{g_n(x_k){\}}_{n=k}^{\mathrm{\infty }}$ הוא תת־סדרה של ${\{f_n^k(x_k)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ .

יהי $\epsilon >0$ . אברי $A$ רציפים במידה אחידה לכן קיים $\delta >0$ כך שלכל $x,y\in K$ ולכל $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ , אם $d(x,y)<\delta$ אזי $d(g_n(x),g_n(y))<\frac{\epsilon }{3}$ (כאשר $d$ היא פונקציית המטריקה ב־$K$). אבל $K$ קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר $\delta$ שנסמנם ב־$O_1,\dots ,O_l$ .

לכל $1\le i\le l$ קיים $k_i\in \mathbb{\mathbb{N}}$ עבורו $x_{k_i}\in O_i$ (כי $\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ צפופה ב־$K$). כמו כן הסדרה $\{g_n(x_{k_i}){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת ל־${\xi }_{k_i}$ לכן לפי תנאי קושי קיים $N_i$ כך שלכל $n,m>N_i$ מתקיים $d(g_n(x_{k_i}),g_m(x_{k_i}))<\frac{\epsilon }{3}$ . נסמן $N:=\sup (N_i)$ . כעת, לכל $n,m>N$ ולכל $x\in K$ קיים $1\le i\le l$ עבורו $x\in O_i$ ומתקיים

$d(g_n(x),g_m(x))\le d(g_n(x),g_n(x_{k_i}))+d(g_n(x_{k_i}),g_m(x_{k_i}))+d(g_m(x_{k_i}),g_m(x))<\epsilon$

לכן לפי תנאי קושי הסדרה $\{g_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת במידה שווה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0