מכפלת ואליס

במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots =\frac{\pi }{2}$

בשנת 2015 הוכיח הפיזיקאי קארל ריצ'רד הייגן כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום החמצן.

הוכחות

על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס

$\begin{array}{rl}\frac{\sin (x)}{x}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-{\left(\frac{x}{n\pi }\right)}^2)\\ \Rightarrow \frac{2}{\pi }& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2}):x=\frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \end{array}$

על בסיס אינטגרציה

נגדיר $I_n=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{n}dx$ .

נבצע אינטגרציה בחלקים:

$\begin{array}{rl}u& =\sin (x{)}^{n-1}\Rightarrow du=(n-1)\sin (x{)}^{n-2}\cos (x)dx\\ dv& =\sin (x)dx\Rightarrow v=-\cos (x)\\ \Rightarrow I_n& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{n}dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}udv=uv{|}_{x=0}^{x=\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}vdu\\ & =-\sin (x{)}^{n-1}\cos (x){|}_{x=0}^{x=\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}-\cos (x)(n-1)\sin (x{)}^{n-2}\cos (x)dx\\ & =0+(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x{)}^2\sin (x{)}^{n-2}dx,n>1\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(1-\sin (x{)}^2)\sin (x{)}^{n-2}dx\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{n-2}dx-(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{n}dx\\ & =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\ & =\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}\\ \Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-2}}& =\frac{n-1}{n}\\ \Rightarrow \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}& =\frac{2n+1}{2n}\end{array}$

נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:

$\begin{array}{rl}{I}_0& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}dx=x{|}_0^{\pi }=\pi \\ I_1& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x)dx=-\cos (x){|}_0^{\pi }=-\cos (\pi )+\cos (0)=2\\ I_{2n}& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{2n}dx=\frac{2n-1}{2n}{I}_{2n-2}=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}{I}_{2n-4}\end{array}$

נחזור על התהליך:

$\begin{array}{r}=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdots \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}{I}_0=\pi \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\\ I_{2n+1}=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^{2n+1}dx=\frac{2n}{2n+1}{I}_{2n-1}=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}{I}_{2n-3}\end{array}$

נחזור על התהליך:

$\begin{array}{r}=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdots \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}{I}_1=2\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}\\ \sin (x{)}^{2n+1}\le \sin (x{)}^{2n}\le \sin (x{)}^{2n-1},0\le x\le \pi \\ \Rightarrow I_{2n+1}\le I_{2n}\le I_{2n-1}\\ \Rightarrow 1\le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}\end{array}$

ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:

$\begin{array}{r}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=1\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\frac{\pi }{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k})=1\\ \Rightarrow \frac{\pi }{2}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \end{array}$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0