מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצה שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות

תהי ${ℳ}$ מטריצת סיבוב מסדר $n\times n$ . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

• המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

$\mathbf{𝐀}\cdot \mathbf{𝐁}={ℳ}\mathbf{𝐀}\cdot {ℳ}\mathbf{𝐁}$

• המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

${ℳ}{{ℳ}}^{-1}={ℳ}{{ℳ}}^{\mathrm{\top }}={ℐ}$

כאשר ${ℐ}$ מטריצת היחידה.

• ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטי־סימטרית $\mathbf{𝐀}$ :

${ℳ}=\exp (\mathbf{𝐀})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathbf{𝐀}}^n}{n!}$

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת ${\mathbf{𝐀}}^n$ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו־ממד

בדו־ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית $\theta$ , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית $\theta$ היא:

$M(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]=\exp \left(\left[\begin{array}{cc}0& \theta \\ -\theta & 0\end{array}\right]\right)$

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה $2\times 2$ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:

$\begin{array}{rl}R(90^{\circ })& =\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ R(180^{\circ })& =\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\\ R(270^{\circ })& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\end{array}$

תלת-ממד

• מטריצת הסיבוב סביב ציר X בזווית ${\theta }_x$ היא:

${{ℛ}}_x({\theta }_x)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos ({\theta }_x)& -\sin ({\theta }_x)\\ 0& \sin ({\theta }_x)& \cos ({\theta }_x)\end{array}\right]=\exp \left(\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -{\theta }_x\\ 0& {\theta }_x& 0\end{array}\right]\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר Y בזווית ${\theta }_y$ היא:

${{ℛ}}_y({\theta }_y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\theta }_y)& 0& \sin ({\theta }_y)\\ 0& 1& 0\\ -\sin ({\theta }_y)& 0& \cos ({\theta }_y)\end{array}\right]=\exp \left(\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {\theta }_y\\ 0& 0& 0\\ -{\theta }_y& 0& 0\end{array}\right]\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר Z בזווית ${\theta }_z$ היא:

${{ℛ}}_z({\theta }_z)=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\theta }_z)& -\sin ({\theta }_z)& 0\\ \sin ({\theta }_z)& \cos ({\theta }_z)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\exp \left(\left[\begin{array}{ccc}0& -{\theta }_z& 0\\ {\theta }_z& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right)$

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם

• מטריצה אורתוגונלית
• זוויות אוילר
• נוסחת הסיבוב של רודריגז
• מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים

• מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0