מטריצת אחדות

מטריצת אחדות במתמטיקה היא מטריצה שבה כל האיברים הם אחדות. לדוגמה:

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

יש להבחין בין מטריצת אחדות לבין מטריצת היחידה, אף על פי שבמקרים מסוימים השימוש הוא במונחים מתחלף.

תכונות מתמטיות

למטריצת אחדות ריבועית מגודל n×n שנסמנה U, מתקיימות התכונות הבאות:

• העקבה של U היא n.
• הדטרמיננטה של U היא 1 אם n הוא 1 ו-0 אחרת. לכן המטריצה הפיכה רק במקרה החד-ממדי.
• הדרגה של U היא 1, והערכים העצמיים הוא n פעם אחת ו-0, n-1 פעמים.
• $U^k=n^{k-1}U,\text{ for }k=1,2,\dots .$
• המטריצה $\frac{1}{n}U$ היא אידמפוטנט (נגזר ישירות מהתכונה הקודמת).
• $\exp (U)=I+\frac{e^n-1}{n}U,$ כאשר $\exp (U)$ הוא אקספוננט מטריציאלי.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.