אקספוננט

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, אֶקְסְפּוֹנֶנְט הוא פונקציה מעריכית עם בסיס e, שלה תכונות מיוחדות רבות ושימושיות. משמעות המילה אקספוננט היא חזקה ולכן בתחומים רבים של המדע המונח אקספוננט משמש לתיאור פונקציה מעריכית כללית (פונקציה מהצורה , כאשר a נקרא בסיס הפונקציה). בערך זה מתייחס השם "אקספוננט" רק לפונקציה המעריכית עם בסיס e, שהוא בסיס הלוגריתם הטבעי.

האקספוננט מופיע בתחומים רבים באנליזה מתמטית, כאשר בכל תחום האקספוננט מוגדר מכיוון אחר. האקספוננט הממשי הוא הפונקציה . האקספוננט הממשי (וכן גם האקספוננט המרוכב) מאפשר לבנות את פעולת החזקה ואת הפונקציות המעריכיות בכלל, ולהוכיח את תכונותיהן.

האקספוננט הממשי

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
הערכים הראשונים של טור החזקות

פונקציית האקספוננט הממשי היא אחת הפונקציות הבסיסיות שנלמדות בחדו"א. ניתן להגדיר את האקספוננט במספר דרכים שקולות, כאשר כל אחת מהן מבליטה תכונה אחרת שלו.

ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה המעריכית , כאשר את הקבוע e מגדירים באמצעות הגבול (או בדרכים אחרות; ראו הערך על הקבוע e). הגדרה זו מתבססת על הגדרה קודמת של חזקה בין מספרים ממשיים כלשהם.

פונקציית האקספוננט היא הפונקציה האנליטית היחידה שכל הנגזרות שלה ב-0 מקבלות את הערך 1, ולכן אפשר להגדיר אותה גם כטור חזקות:

מן ההגדרה הזו, על ידי האריתמטיקה של מכפלת טורים, נובעת התכונה היסודית של האקספוננט:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x)\cdot \exp(y) = \exp(x+y)}

תכונה זו נובעת מהגדרת הטור ומן הבינום של ניוטון, ואין צורך בעובדה שהטור מתכנס לפונקציה מעריכית כדי להוכיח אותה.

פונקציית האקספוננט היא גם הגבול של הסדרה הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^n}

למעשה, באופן כללי בכל אלגברת בנך הפונקציה הזו וטור החזקות שהוצג לעיל תמיד מתכנסים לאותו גבול.

תכונות

הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x} פונקציה רציפה וגזירה (משום שהיא ניתנת להצגה כסכום של טור חזקות מתכנס בכל הישר). בנוסף, הנגזרת של האקספוננט היא שוב האקספוננט -

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot x^{n-1} }{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} }

כאשר המעבר מהשוויון הראשון לשני נעשה על פי כללי גזירה בטורים, והמעבר מהשוויון השלישי לאחרון נעשה על ידי ההחלפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k=n-1} .
תכונה זו כמעט ייחודית לפונקציית האקספוננט, כלומר אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = f'(x)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = C e^x} כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} היא פונקציית האקספוננט עד כדי כפל בקבוע ממשי. לכן, ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה (היחידה) שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(x) = f(x)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \mathbb{R}}
- אלו תנאי ההתחלה שמייחדים את האקספוננט מכל שאר הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית.

קל לראות מהתכונה היסודית של האקספוננט שכל הערכים שלו הם חיוביים. הסיבה היא שאם היה לו ערך שלילי - אז ממשפט ערך הביניים, היה קיים מספר ממשי c כך שמתקיים לגביו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^c=0} . אבל זה לא ייתכן כי אם נניח בשלילה שקיים מספר כזה, אז היה מתקבל מיד:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e = e^1 = e^{1-c + c} = e^{1-c} \cdot e^c = e^{1-c} \cdot 0 = 0} , מה שכמובן לא ייתכן.

כלומר קיבלנו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x > 0} לכל מספר ממשי. ממשפט הערך הממוצע נובע שהפונקציה היא מונוטונית עולה בכל תחום הגדרתה, ובפרט חד חד ערכית. בנוסף, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e = e^1 > 1} ולכן הסדרה הגאומטרית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^n} שואפת לאינסוף, ולכן האקספוננט הוא פונקציה על כפונקציה מהמספרים הממשיים למספרים החיוביים. למעשה, הוא הומומורפיזם של חבורות בין החבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( \mathbb{R} , + , 0 )} והחבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( \mathbb{R}^{>0} , \cdot , 1 )} .

כיוון שהאקספוננט הוא פונקציה חח"ע מהמספרים הממשיים, קיימת לו פונקציה הפוכה, מהמספרים החיוביים שמסומנת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(x)} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln (x)} , ונקראת הלוגריתם הטבעי. ניתן גם להגדיר את הלוגריתם הטבעי קודם להגדרת האקספוננט (בתור האינטגרל הלא מסוים של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-1}} ) ולאחר מכן להגדיר את האקספוננט כפונקציה ההופכית ללוגריתם הטבעי.

האקספוננט המרוכב

גם בתורת המספרים המרוכבים פונקציית האקספוננט ממלאת תפקיד חשוב. את הפונקציה שהגדרנו עבור מספרים ממשיים ניתן להרחיב לכל מספר מרוכב. בדומה לאקספוננט הממשי, גם בשדה המספרים המרוכבים קיימות מספר דרכים שקולות להגדיר את האקספוננט.

ניתן להגדיר את האקספוננט באמצעות אותו טור חזקות שבו השתמשנו להגדרת האקספוננט הממשי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \in \mathbb{C}} , מספר מרוכב כלשהו.

נשים לב, שהסימון e בחזקת z הוא סימון פורמלי בלבד, כיוון שהגדרת האקספוננט קודמת להגדרת חזקות כלליות במספרים המרוכבים. טור זה מתכנס עבור כל מספר מרוכב והוא מגדיר את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^z} כפונקציה מרוכבת, שהיא פונקציה אנליטית. ניתן להראות (ונוכיח זאת בהמשך) שמתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{x+iy} = e^x \cdot (\cos y + i \sin y )}

תכונות

האקספוננט המרוכב "יורש" את כל התכונות של האקספוננט הממשי, שנבעו מתוך ההגדרה שלו כטור חזקות.

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (e^z) ' = e^z}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^0 =1}

האקספוננט המרוכב מתלכד עם האקספוננט הממשי עבור כל מספר ממשי.
על ידי השוואה בין טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות, לבין תוצאת הטור של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^z} כאשר מציבים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z=iy} מתקבלת התוצאה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{iy}= \cos(y)+i\cdot \sin(y) } . נוסחה זו מכונה נוסחת אוילר, ובפרט מתקבלת זהות אוילר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{\pi i}+1=0} . אם נכפיל את הזהות הזו ב- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x} נקבל את הנוסחה הכללית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^ {x+iy} = e^x \cdot ( \cos y + i \sin y )} , עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x , y \in \mathbb{R}} .

מהנוסחה האחרונה נובע שהאקספוננט המרוכב הוא לא חד חד ערכי, כי לדוגמה, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{2 \pi i} = 1 = e^0} . לעומת זאת הוא מחזיר כל מספר מרוכב חוץ מאפס.

לפי משפט לינדמן האקספוננט המרוכב (ולכן גם הממשי) מחזיר ערכים טרנסצנדנטיים בנקודות אלגבריות שונות מאפס.

האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, במספרים הממשיים כמו גם במספרים המרוכבים, ניתן להגדיר באופן נוח בעזרת פונקציית האקספוננט. מנוסחת אוילר, על ידי הצבת y- במקום y, נובע שלכל מספר ממשי מתקיימות הזהויות הבאות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos(y)=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin(y)=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}}

זהויות אלו יכולות לשמש כהגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל y מרוכב. ההגדרה הזו נוחה במיוחד, כי היא מאפשרת לגזור את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות ישירות מתכונות האקספוננט המרוכב. כך למשל הפונקציות הטריגונומטריות המרוכבות נשארות מחזוריות גם במישור המרוכב ומקיימות לכל z:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos (z+2\pi ) = \cos (z)}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin (z+2\pi ) = \sin (z)}

ולכל מספר אחר אם לכל z אז בהכרח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k \in \mathbb{Z}\ \ \ w = 2k \pi } , וכך גם לגבי הסינוס.

החזקה המרוכבת

את החזקה המרוכבת נוח להגדיר באמצעות האקספוננט המרוכב והלוגריתם הטבעי המתאים לו:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z^w = e^{ w \ln z}}

עם זאת, פונקציית הלוגריתם אינה חד-ערכית (לפי נוסחת אוילר לכל n יש ענף אנליטי של הלוגריתם שמקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(1) = 2 \pi i \cdot n} ), ולכן גם החזקה המרוכבת אינה מוגדרת היטב.

האקספוננט המטריציאלי

הגדרת האקספוננט דרך טור חזקות, מאפשרת להרחיב את ההגדרה לכל אלגברת בנך, ובמיוחד לאלגברת המטריצות. לכל מטריצה ריבועית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}} הטור הבא מתכנס (בכל נורמה שמשמרה את הטופולוגיה הרגילה):

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^A =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \cdot A^n}

ברור שהסימון e בחזקת A הוא סימון פורמלי בלבד, ואפילו אין דרך כללית להגדיר חזקות בין מטריצות. האקספוננט המטריציאלי משמש, בין השאר, בפתרון מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות.

תכונות

כיוון שכפל מטריצות הוא לא קומוטטיבי, התכונה היסודית של האקספוננט - המרת חיבור בכפל, בדרך כלל לא מתקיימת. תכונה זו מתקיימת כאשר המטריצות מתחלפות כלומר:

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ AB =BA} אזהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{A+B} = e^A \cdot e^B} .

מכאן נובעות התכונות שמאפיינות את תמונת האקספוננט המטריציאלי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^A \cdot e^{-A} = e^0 = I} - כלומר כל מטריצה שמתקבלת כאקספוננט של מטריצה אחרת היא הפיכה.

במטריצות מרוכבות גם הכיוון ההפוך נכון - כל מטריצה הפיכה ניתן להציג כאקספוננט של מטריצה אחרת.

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{nA} = (e^A ) ^ n}

בנוסף האקספוננט המטריציאלי משמר דמיון מטריצות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{P^{-1} A P} = P^{-1} e^A P}

התכונה האחרונה מאפשרת לחשב באופן מפורש ביטויים מהצורה באמצעות מציאת צורת ז'ורדן של המטריצה.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0