טור חזקות

טוּר חֲזָקוֹת הוא טור הבנוי כסכום של חזקות מ־0 עד אינסוף של נעלם. טורי חזקות יכולים לתאר כל פונקציה אנליטית ומשמשים באנליזה מתמטית, לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש בארבע פעולות החשבון.

הגדרה

טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$ כאשר $a_n$ סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו־$c$ הנקודה שסביבה מפותח הטור.

רדיוס התכנסות

תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות.

אם $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$ הוא טור חזקות, אז קיים $0\le r\le \mathrm{\infty }$ כך שלכל $|x-c|<r$ הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת־קבוצה קומפקטית של $\{|x-c|<r\}$ הטור מתכנס במידה שווה. כאשר $r=\mathrm{\infty }$ הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, והוא מתכנס במידה שווה על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא פולינום. אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו.

על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, $|x-c|=r$ לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי–אדמר: $\frac{1}{r}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$ (אם הגבול הוא 0, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעיתים קשה לחשב אותה. נוסחת ד'אלמבר $r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי), ולעיתים היא קלה יותר לחישוב.

פעולות על טורי חזקות

חיבור וחיסור

סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\pm \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)x^n$

מכפלה

מכפלת טור חזקות בקבוע היא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:

$c\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}c\cdot a_n{x}^n$

מכפלת שני טורים:

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_k(x-c{)}^{n+k}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-c{)}^n$

גזירה ואינטגרציה

בתוך תחום ההתכנסות ניתן לגזור את טורי החזקות אבר־אבר, וכן גם לבצע עליהם אינטגרציה אבר־אבר:

$\begin{array}{r}(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^i)(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(x-c{)}^{n-1}\\ \int \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^{n}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n(x-c{)}^{n+1}}{n+1}+C\end{array}$

שימושים

השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה $f(x)$ היא אנליטית בנקודה $c$, אז מקדמי טור החזקות סביב $c$ שמתאר את הפונקציה בסביבת $c$ הם $a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$. כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.

במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.

ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.

טורי חזקות פורמליים

באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך למשל, טור החזקות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n!x^n$ המתבדר לכל $x\ne 0$ הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.

דוגמאות

הפונקציה האקספוננטית

הפונקציה האקספוננטית ניתנת להצגה כטור חזקות: $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה – העברת חיבור לכפל, נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה $\frac{d}{dx}(e^{ax})=a{e}^{ax}$ אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.

פונקציית סינוס

פונקציית הסינוס ניתנת להצגה כטור חזקות: $\sin (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1)!}{x}^{2n-1}$

פונקציה רציונלית

טור החזקות שמקדמיו שווים ל־1 מתכנס לפונקציה: $\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$

ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות $r=1$ כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל.

טורים נוספים

לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טור חזקות בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0