ספירלה לוגריתמית

ספירלה לוגריתמית (זווית גידול 10°)

ספירלה לוגריתמית, שנקראת גם ספירלה שוות-זווית, היא עקומה ספירלית בעל דמיון עצמי המופיעה במקומות רבים בטבע.

הספירלה הלוגריתמית תוארה לראשונה בידי דקארט ונחקרה לעומק מאוחר בידי יאקוב ברנולי, שכינה אותה Spira mirabilis – "הספירלה המופלאה".

הגדרה

בקואורדינטות קוטביות $(r,\theta )$ העקום הלוגריתמי ניתן לכתיבה כך:

$r=a{e}^{b\theta }$

כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-$a,b$ הם קבועים ממשיים חיוביים שרירותיים.

לספירלה הזאת יש את התכונה שהזווית $\varphi$ בין המשיק לספירלה בנקודה $(r,\theta )$ לקו הרדיאלי המחבר בין הראשית לנקודה היא קבועה. תכונה זאת ניתנת לביטוי כך:

$\arccos \left(\frac{⟨\overrightarrow{r}(\theta ),{\overrightarrow{r}}^{\prime }(\theta )⟩}{\Vert \overrightarrow{r}(\theta )\Vert \Vert {\overrightarrow{r}}^{\prime }(\theta )\Vert }\right)=\arctan \left(\frac{1}{b}\right)=\varphi$

הנגזרת של $\overrightarrow{r}(\theta )$ פרופורציונית לפרמטר $b$ . במילים אחרות, פרמטר זה מכתיב את קצב הגידול של הספירלה. במקרה הקיצון בו $b=0$ (כלומר כאשר $\varphi =\frac{\pi }{2}$), הספירלה הופכת למעגל בעל רדיוס $a$ .

לעומת זאת, בגבול בו $b\to \mathrm{\infty },\varphi \to 0$ הספירלה מתנוונת והופכת לחצי קו ישר העובר דרך הראשית. הערך המוחלט של הזווית המשלימה ל-90 מעלות של $\varphi$ נקראת זווית הגידול (pitch angle) של הספירלה.

"הספירלה המופלאה" ויאקוב ברנולי

Spira mirabilis, התרגום הלטיני לספירלה המופלאה, הוא שם אחר לספירלה הלוגריתמית. אף ששם זה כבר ניתן לעקום זה בידי מתמטיקאים אחרים, השם המסוים (ספירלה "פלאית" או "מופלאה") הזה ניתן לעקום הזה בידי יאקוב ברנולי, שהוקסם מאחת מתכונותיה המתמטיות הייחודיות של הספירלה: כאשר מגדילים את הספירלה פי כל גורם שהוא צורתה נותרת קבועה, תכונה הידועה כעת כדמיון עצמי.

קרוב מאד לוודאי שאודות לתכונה ייחודית זאת הספירלה התפתחה בטבע, ומופיעה בתצורות גדילה שונות כגון בקונכיות של הנאוטילוסיים ובראשי חמניות.

יאקוב ברנולי ביקש כי תיחרט ספירלה כזאת על מצבתו יחד עם הכתובית "Eadem mutata resurgo" ("אף על פי שאשתנה, אחזור מחדש זהה"), אולם תחת זאת נחרטה בטעות ספירלת ארכימדס.

תכונות

הספירלה הלוגריתמית מובחנת בקלות מספירלת ארכימדס באמצעות העובדה שבלוגריתמית המרחקים בין שתי פניות עוקבות גדלים באופן גאומטרי, בעוד שבארכימדית המרחקים הללו קבועים.

ספירות לוגריתמיות הינן דומות לעצמן בכך שהתוצאה של הפעלת כל קינום על הספירלה נותנת ספירלה החופפת לספירלה המקורית. שינוי סדר גודל של הספירלה בפקטור $e^{2\pi b}$ , כאשר $b$ הוא הפרמטר מההגדרה של הספירלה, וכאשר מרכז הקינום הוא בראשית, נותן את אותו עקום כמו העקום המקורי; זאת בעוד שינויי סדר גודל אחרים נותנים עקום ספירלי זהה אך מסובב ביחס לעמדה המקורית של הספירלה.

בכך מתבטאת תכונתה הייחודית של הספירלה הלוגריתמית: הפעלת קינום עליה כמוה כהפעלת פעולת סיבוב על הספירלה, או בניסוח אחר, לכל פעולת קינום של הספירלה קיימת פעולת סיבוב כך שהפעלת שתי הפעולות בזו אחר זו על הספירלה נותנת את העקום המקורי. גם האוולוט (עקומה המורכבת מאוסף כל מרכזי העקמומיות של הספירלה) של הספירלה הלוגריתמית הוא ספירלה לוגריתמית; אם משוואת הספירלה המקורית היא $r=e^{b\theta }$ אז משוואת האוולוט שלו היא $r=Ab{e}^{b\theta }$ כאשר $A=e^{-\frac{\pi }{4}b}$ .

כשמתחילים מנקודה $P$ ונעים פנימה לאורך הספירלה, ניתן להקיף את הראשית אינסוף פעמים מבלי להגיע אליה; ובכל זאת, המרחק הכולל על הנתיב הזה הוא סופי; כלומר, הגבול של האורך כאשר $\theta \to -\mathrm{\infty }$ הוא סופי. הראשון שהבחין בכך היה אוונג'ליסטה טוריצ'לי, עוד בטרם הומצא החשבון האינפיניטסימלי. המרחק הכולל המכוסה בהליכה מנקודה $P$ לראשית הוא $\frac{r}{\cos (\varphi )}$ כאשר $r$ הוא אורך הקו הישר מ-$P$ לראשית.

הפונקציה האקספוננטית של משתנה מרוכב $x$ ממפה במדויק את כל הקווים ישרים הלא-מקבילים במישור המרוכב (כלומר כאשר נקודה על הישר נלקחת כמספר מרוכב) לכל הספירלות הלוגריתמיות במישור המרוכב עם ראשית בראשית הצירים של המישור. זווית הגידול של הספירלה המתאימה נקבעת על ידי הזווית בין הקו לישר המדומה (כלומר נקבעת לפי היחס הקבוע בין החלק המדומה לחלק הממשי של נקודות על הישר).

הפונקציה $x\mapsto x^k$ כאשר הקבוע $k$ הוא מספר מרוכב עם חלק מדומה שונה מאפס, ממפה את הישר הממשי לספירלה לוגריתמית במישור המרוכב.

ספירלת הזהב היא ספירלה לוגריתמית שגדלה החוצה בפקטור גידול ששווה ליחס הזהב בעברו כל סיבוב של 90 מעלות (זווית גידול של בערך 17.03239 מעלות). ניתן לקרב אותה על ידי "ספירלת פיבונאצ'י" , המורכבת מסדרת רבעי מעגלים עם רדיוסים היחסיים למספרי פיבונאצ'י.

ספירלות לוגריתמיות בטבע

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

לזרועות של גלקסיות ספירליות יש לעיתים קרובות צורת ספירלה לוגריתמית. בתמונה גלקסיית המערבולת

במספר תופעות טבעיות ניתן למצוא עקומים הקרובים להיות ספירלות לוגריתמיות. כאן מובאות מספר דוגמאות והסיבות לכך:

• מעוף הנץ אל טרפו מהווה דוגמה לספירלה לוגריתמית המתכנסת פנימה. כיוון שהנץ רואה גופים בצורה החדה ביותר בזווית העין שלו, כשהוא עט על טרפו הוא תמיד שומר על זווית קבועה בין כיוון מעופו וקו הראייה שלו אל הטרף, וזאת היא למעשה זווית הקיטון (או הגידול) של הספירלה.
• הזרועות של גלקסיות ספירליות. לגלקסיה שלנו, שביל החלב, יש מספר זרועות ספירליות, ואחת מהן היא בקירוב ספירלה לוגריתמית עם זווית גידול של 12 מעלות.
• העצבים של הקרנית בעין.
• לסופות טרופיות רבות, כגון הוריקנים, יש תבנית של ספירלה לוגריתמית.
• במבנים ביולוגיים רבים כולל הקליפות של רכיכות.