משוואות פרנה-סרה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי $\gamma :[0,L]\to {\mathbb{ℝ}}^3$ בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה. חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציות עקמומיות ופיתול רגולריות, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.

תהי $\overrightarrow{\gamma }\in C^3[0,L]$ עקומה רגולרית ($|{\overrightarrow{\gamma }}^{\prime }(s)|\ne 0$) וגזירה שלוש פעמים ברציפות בפרמטר הטבעי. נגדיר וקטור משיק על ידי

$\overrightarrow{v}(s)=\overrightarrow{{\gamma }^{\prime }}(s)=d\overrightarrow{\gamma }/ds$

מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. כאן אין בחירה יחידה של וקטור נורמלי ולכן נגדיר את $\overrightarrow{n}$ באופן הבא:

$\overrightarrow{n}(s)=\frac{{\gamma }^{″}(s)}{|{\gamma }^{″}(s)|}$

נשים לב שגם הוא וקטור יחידה. כאן, מגדירים את העקמומיות להיות

$k(s)=|{\gamma }^{″}(s)|$

נשלים זוג וקטורים אלה לבסיס אורתונורמלי בעל בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, $\overrightarrow{b}(s)$ הניצב לווקטור המשיק ולווקטור הנורמל שמוגדר על ידי

$\overrightarrow{b}(s)=\overrightarrow{v}(s)\times \overrightarrow{n}(s)$

כלומר, על ידי מכפלה וקטורית של הווקטורים הקודמים. וקטור זה נקרא "בי-נורמל", וגם הוא וקטור יחידה.

משוואות פרנה טוענות ש-

• $\overrightarrow{v^{\prime }}(s)=\frac{d}{ds}\overrightarrow{v}(s)=+k(s)\overrightarrow{n}(s)$
• $\overrightarrow{n^{\prime }}(s)=\frac{d}{ds}\overrightarrow{n}(s)=-k(s)\overrightarrow{v}(s)+\tau (s)\overrightarrow{b}(s)$
• $\overrightarrow{b^{\prime }}(s)=\frac{d}{ds}\overrightarrow{b}(s)=-\tau (s)\overrightarrow{n}(s)$

כאשר $k(s)$ היא העקמומיות ו-$\tau (s)$ הוא הפיתול (גודל המודד כמה רחוקה העקומה מלהיות מישורית, עקומה עם פיתול אפס מוכלת כולה במישור דו-ממדי). זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות לינאריות ומסדר ראשון. נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:

$\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v^{\prime }}\\ \overrightarrow{n^{\prime }}\\ \overrightarrow{b^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& +k(s)& 0\\ -k(s)& 0& +\tau (s)\\ 0& -\tau (s)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v}\\ \overrightarrow{n}\\ \overrightarrow{b}\end{array}\right]$

נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית. עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.

ראו גם

• עקומה
• משוואות פרנה (צמצום לעקומים במישור דו-ממדי)