תורת האוטומטים – מונחים

תורת האוטומטים היא ענף בחישוביות העוסק בחקר מודלים מתמטיים כדוגמת האוטומט הסופי ואוטומט המחסנית.

מושגי יסוד

אורך של מילה: האורך של מילה שווה למס' האותיות שבה. אורכה של מילה $w$ מסומן ב $| w |$ .
מס' מופעי אות במילה: מס' מופעי $σ$ במילה $w$ יסומן ב $#_{σ} (w)$ .
היפוך מילים: תהי $w = σ_{1} σ_{2} . . . σ_{n}$ . היפוכה יסומן ב $w^{R}$ ויתקיים $w^{R} = σ_{n} σ_{n - 1} . . . σ_{1}$ .
שרשור מילים: יהיו שתי מילים $w, z$ כך ש $w = w_{1} w_{2} . . . w_{n}, z = z_{1} z_{2} . . . z_{n}$ שרשורן יסומן על ידי $w \cdot z$ או $w z$ ויוגדר כ- $w_{1} w_{2} . . . w_{n} z_{1} z_{2} . . . z_{n}$ .
חזקה של מילה: $w^{n}$ מוגדרת רקורסיבית כשרשור של $w$ לעצמה $n$ פעמים - $w^{n} = {\begin{cases} ε, & n = 0 \\ w^{n - 1} w, & n > 0 \end{cases}$ .

איחוד/חיתוך/השלמה: פעולות אלו זהות לפעולות איחוד חיתוך והשלמה מתורת הקבוצות, רק שאלו פועלות על שפות (כאשר העולם הוא $Σ^{*}$ ).
שרשור שפות: שרשור של שתי שפות מוגדר כקבוצת כל המילים הנוצרות משרשור מילה אחת מהשפה הראשונה ומילה אחת מהשנייה. כלומר, יהיו $L_{1}, L_{2}$ שפות, שרשורן יסומן ב- $L_{1} L_{2}$ . $L_{1} \cdot L_{2} = {w \cdot v | w \in L_{1} \land v \in L_{2}}$
חזקה של שפה: החזקה ה- $n$ -ית של שפה מוגדרת כשפת כל המילים הנוצרות על ידי שרשור של $n$ מילים מאותה שפה. כלומר, תהי $L$ שפה פורמלית. חזקתה תוגדר כך - $L^{0} = {ε}$ ולכל $n > 0$ יתקיים $L^{n} = L L^{n - 1}$ . $L^{n} = {\begin{cases} {ε}, & n = 0 \\ L^{n - 1} L, & n > 0 \end{cases}$
סגור קלין: סגור קלין של שפה $L$ יסומן ב $L^{*}$ ויוגדר כך - $L^{*} = ⋃_{i \geq 0}^{\infty} L^{i}$ .
סגור חיובי: הסגור החיובי של שפה $L$ מוגדר בדומה לסגור קלין שלה - הסגור החיובי מסומן ב $L^{+}$ ומוגדר כך - $L^{+} = ⋃_{i > 0}^{\infty} L^{i}$ .

ההיררכיה של חומסקי מחלקת את השפות הפורמליות ל-4 סוגים לפי הדקדוקים היוצרים אותן (כל אחד מהדקדוקים בהיררכיה מוגבל יותר מאלו שמעליו):

דקדוק פורמלי: אוסף של משתנים דקדוקיים, סימנים טרמינליים וכללי שכתוב המשמשים להגדרת שפה פורמלית.
מכונות:
- אוטומט סופי: המכונה המוגבלת ביותר, משמשת להגדרת שפות רגולריות. לאוטומט זה קבוצה סופית של מצבים המשמשים לו כזיכרון. (מוגבל)
  - אוטומט סופי דטרמיניסטי: (אס"ד) אוטומט סופי המבצע מסלול חישוב יחיד לכל קלט אפשרי (בשונה מהאסל"ד).
  - אוטומט סופי לא דטרמיניסטי: (אסל"ד) אוטומט סופי המאפשר מעבר בכמה מסלולי חישוב שונים לקלט נתון.
- אוטומט מחסנית: אוטומט בעל זיכרון לא מוגבל, אבל הגישה אליו מוגבלת. (כפי שניתן להסיק משמו, זיכרון אוטומט המחסנית פועל כמחסנית, שניתן לקרוא רק את הנתון הנמצא בראשה) אוטומט זה מקבל מילים באמצעות ריקון המחסנית או באמצעות הגעה למצב מקבל.
ביטוי רגולרי: שיטה להצגת שפות רגולריות באמצעות מספר סופי של פעולות איחוד, שרשור וסגור.

למת הניפוח לשפות רגולריות: למה המצביעה על תכונה הכרחית לרגולריות של שפה. למה זו משמשת בעיקר לשם הוכחת אי-רגולריות של שפה.
למת הניפוח לשפות חופשיות הקשר: למה המציגה תכונה של השפות חופשיות ההקשר, ומשמשת גם היא להוכחה ששפה אינה ח"ה.
משפט מייהיל-נרוד: משפט המתאר תכונה נוספת של השפות הרגולריות (הנובעת מזכרונם המוגבל של האס"דים) ומשמש גם כן להוכחת אי-רגולריות של שפה.