תורת הקבוצות - מונחים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
  • תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת-קבוצה: קבוצה היא תת־קבוצה של הקבוצה אם כל אבר של שייך גם ל־. נסמן זאת בצורה: .
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה אברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø") או בצורה .
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה המכילה אבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את אברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר
    • הפרש: ההפרש בין ל־ הוא קבוצה המכילה את כל האברים השייכים ל־ ולא שייכים ל־.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות הוא הקבוצה המורכבת מכל אברי שלא שייכים ל־ וכל אברי שלא שייכים ל־ – כלומר, כל האברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה "הפרש סימטרי" היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאברם הראשון שייך ל־ והשני שייך ל־. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר אבריה. עוצמה של קבוצה תסומן .
    • (אלף אפס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
    • או (עוצמת הרצף): עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים.
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין , זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה אינסופית שניתן למנות את אבריה; כלומר, כזו שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. (לפעמים כוללים בהגדרה גם קבוצות סופיות).
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תתי־הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה תסומן .
  • יחס (בינארי): קבוצה המכילה זוגות סדורים, כך שהאבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת , והאבר השני בא מקבוצה נוספת (לא בהכרח שונה מ־). בכתיב פורמלי: קבוצה תיקרא יחס מ־ ל־ אם .
    • פונקציה: יחס בו לכל אבר של קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האבר הראשון שלו.
      • פונקציה חד-חד-ערכית: פונקציה תקרא חד־חד־ערכית (חח"ע) אם לכל בטווח קיים לכל היותר אחד בתחום המקיים .
      • פונקציה על: פונקציה תקרא על אם לכל בטווח קיים לפחות אחד בתחום המקיים .
      • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל קיים יחיד עבורו (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
    • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
    • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי־סימטריות וטרנזיטיביות.
      • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני אברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
        • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת־קבוצה יש אבר מינימלי.
      • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
  • קבוצת כל הפונקציות מקבוצה לקבוצה : קבוצה המסומנת והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה אל תוך הקבוצה .
  • הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
  • משפטים:
    • משפט קנטור: משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שעוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמת קבוצת תתי־קבוצות שלה.
    • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
    • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה לקבוצה , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה לקבוצה , אז שתי הקבוצות שקולות.
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0