פונקציית פוליגמא

גרף של פונקציית גמא מסדר 0, 1, 2 ו-3

במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת של הלוגריתם של פונקציית גמא:

${\psi }^{(m)}(z):=\frac{d^m}{d{z}^m}\psi (z)=\frac{d^{m+1}}{d{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z).$

אז

${\psi }^{(0)}(z)=\psi (z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

כאשר Γ(z) היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום $\mathbb{ℂ}\setminus -{\mathbb{\mathbb{N}}}_0$.

גרף במישור המרוכב של פונקציית הפוליגמא

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$
${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

נוסחה על ידי אינטגרל

אפשר להגדיר את פונקציית פוליגמא על ידי אינטגרל:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{z-1}}{1-t}{\ln }^{m}tdt$

נוסחת נסיגה

וגם על ידי נוסחת נסיגה

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}}$

או על ידי

$\frac{{\psi }^{(m)}(n)}{(-1{)}^{m+1}m!}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^{m+1}}=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{m+1}}m\ge 1$

כאשר

${\psi }^{(0)}(n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

לכול n טבעי.

טור טיילור

טור טיילור של פונקציית הפוליגמא היא:

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}\frac{(m+k)!}{k!}\zeta (m+k+1)z^{k}m\ge 1$

כאשר

${\psi }^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\zeta (k+1)z^k$

אשר מתכנס כאשר לכל z בעל ערך מוחלט של 1. במקרה זה זטא מוגדרת להיות פונקציית זטא של רימן.

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

קישורים חיצוניים

• פונקציית פוליגמא באתר Wolfram MathWorld