דיפרנציאל (מתמטיקה)

בחשבון אינפיניטסימלי בפרט ובאנליזה מתמטית בכלל, דִיפֵרֵנְצִיאַל של פונקציה בנקודה מסוימת הוא קירוב לינארי של הפונקציה בנקודה זו.

עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד, מושג הדיפרנציאל קשור קשר הדוק למושג הנגזרת, אולם כאשר עוברים לפונקציות של כמה משתנים, או לפונקציות שמחזירות וקטור, הדיפרנציאל הוא הכללה של הנגזרת, ושונה ממושג הנגזרת החלקית.

הגדרה פורמלית

תהי $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $p$ .

מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: $f(p+\Delta p)=f(p)+D_{p}(\Delta p)+o(\Delta p)$ כאשר $o$ פונקציה המקיימת $\lim _{\Delta p\to 0}{\frac {o(\Delta p)}{\Delta p}}=0$ , ו־ $\ D_{p}$ מסמל העתקה לינארית מ־ $\mathbb {R} ^{n}$ אל $\mathbb {R} ^{m}$ . ההעתקה $D_{p}$ תיקרא הדיפרנציאל של הפונקציה $f$ בנקודה $p$ ולפעמים תסומן גם כך: $df_{p}(\Delta p)$ .

נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה $p$ – בכל נקודה יש לפונקציה $f$ קירוב לינארי שתלוי באותה נקודה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל הוא יחיד. כלומר לא קיימים 2 העתקות לינאריות המקיימות את ההגדרה הכתובה לעיל באותה נקודה.

מציאת הדיפרנציאל

נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה ${\vec {e}}_{i}$ (וקטור אפסים עם 1 במקום ה- $i$ . למשל ב־ $\mathbb {R} ^{4}$ מתקיים כי ${\vec {e_{2}}}=(0,1,0,0)$ ) ו־ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ דיפרנציאבילית בנקודה $p$ אז $\forall 1\leq i\leq n:df_{p}(e_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$ . מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור $\Delta p=(\Delta p_{1},\ldots ,\Delta p_{n})=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}{\vec {e}}_{i}$ הדיפרנציאל, שהוא אופרטור לינארי, יהיה

df_{p}(\Delta p)=df_{p}\left(\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}{\vec {e}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}\cdot df_{p}({\vec {e}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)

מכאן ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל מיוצג על ידי מטריצה ששורותיה הן הגרדיאנטים של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את $f$ . מטריצה זו נקראת מטריצת יעקובי.

מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.

דוגמה

במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, $y=f(x)$ , אם הפונקציה גזירה בנקודה $x_{0}$ פירוש הדבר הוא שקיים הגבול הבא: $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$ . אם נסמן גבול זה בתור $f'(x_{0})$ , נשים לב שמתקיים $f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)$ (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב- $\Delta x$ והשאפתו לאפס).

מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה $D_{x_{0}}=f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$ . כאן הדיפרנציאל הוא "העתקה לינארית" המיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד.

מקובל לעיתים קרובות במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד $f$ לסמן את הדיפרנציאל שלה בתור $df$ . מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון ${\frac {df}{dx}}$ שמתאר נגזרת (כלומר, את $df$ ) – אם נסתכל על $x$ , המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה $x_{0}$ הוא $D_{x_{0}}=1(x-x_{0})=x-x_{0}$ . עם זאת, רצוי לזכור שזהו עדיין סימון בלבד – דיפרנציאלים הם העתקות לינאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית.