זווית היפרבולית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
גרסה מ־05:51, 29 באוגוסט 2019 מאת מוטיאל (שיחה | תרומות) (החלפת טקסט – "לעתים" ב־"לעיתים")
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Incomplete-document-purple.svg
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
הזווית ההיפרבולית היא גזרה היפרבולית – הארגומנט של הפונקציות ההיפרבוליות sinh,cosh

במתמטיקה, זווית היפרבולית היא פרמטר המאפיין גזרות של היפרבולה, בדומה לאופן שבו זוויות רגילות מאפיינות גזרות של מעגל. הזווית ההיפרבולית מוגדרת ראשית בעבור "מיקום סטנדרטי", ולאחר מכן כמידה על אינטרוול של ענף היפרבולי.

הגדרה ותכונות

זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב־ בין הקרן העוברת ב־ לבין קרן העוברת ב־ כאשר  ; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי") . הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר .

הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל־ (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה לזווית מרכזית זאת. בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום.

נניח כי כאשר , כך שהנקודות מגדירות מקטע על ההיפרבולה . יש העתקה אפינית משמרת שטח (אנ') הממפה את המקטע הזה למקטע בין . חשבון שטחים פשוט מראה כי השטח תחת ההיפרבולה במקטע זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות . לפי תוצאה של גרגואיר דה סנט וינסנט, לשטח זה תכונות לוגריתמיות[דרושה הבהרה].

הפונקציות ההיפרבוליות נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי־תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי לפונקציות הטריגונומטריות המעגליות. לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של חשבון אינפיניטסימלי במשתנה ממשי; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא.

הקבלה לזווית מעגלית

להיפרבולת היחידה יש גזרה עם שטח השווה למחצית הזווית ההיפרבולית
זווית מעגלית לעומת זווית היפרבולית

למעגל היחידה יש גזרה מעגלית ששטחה חצי מהזווית המעגלית ברדיאנים. באופן אנלוגי, להיפרבולת היחידה יש גזרה היפרבולית עם שטח השווה למחצית הזווית ההיפרבולית.

הזווית ההיפרבולית מהווה יותר מהגדרה שרירותית המקבילה לזו של זווית מעגלית, אלא שהיא טומנת בחובה עומק רב; הרעיון הבסיסי של חיבור זוויות דרך תכונות של הנקודות המתאימות לזוויות האלו, תקף גם לזווית המעגלית וגם לזווית ההיפרבולית. הבניות הבאות מראות את ההקבלה בין הזווית ההיפרבולית לזווית המעגלית:

זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני מיתרים מתאימות זוויות במרכז המעגל, אז סכומן הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר המקביל ל־ .

אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה: אם בוחרים , אז באמצעות חישוב שיפועים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב כי . נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות המתאימות לנקודות היא, לפי הזהות , הנקודה .

היסטוריה

בעיית תרבוע ההיפרבולה היא בעיית הערכת השטח של גזרה היפרבולית. בעיה זו נפתרה לראשונה על ידי גרגואיר דה סנט וינסנט ב־1647 בחיבורו החשוב Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. כפי שהיסטוריון אחד ניסח זאת:

"הוא ערך את התרבוע של ההיפרבולה ביחס לאסימפטוטות שלה, והראה שהשטח גדל בהתאם לטור חשבוני כאשר גדל בטור גאומטרי."

תלמידו של גרגואיר, A. A. de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי. כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית.

הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה אוגוסטוס דה-מורגן בספרו Trigonometry and Double Algebra.

ב־1914 פרסם Ludwik Silberstein את חיבורו על תורת היחסות החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. בהמשך לעבודתו של הרמן מינקובסקי על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את טרנספורמציות לורנץ כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות המרחב-זמן; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית המקיימת , טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב–זמניות של אירוע לאורך היפרבולת המקטע [א] כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת בדרך זאת:

  • אם נציב בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל:

(במעבר האחרון השתמשנו ב־).

  • הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות:
.

באותו חיבור, Silberstein נעזר גם במושג של זווית ההקבלה (angle of parallelism) של לובצ'בסקי כדי להגיע לתוצאה .

זווית היפרבולית כזווית מעגלית מדומה

הזווית ההיפרבולית מוצגת לעיתים כמספר מדומה:

כך שהפונקציות ההיפרבוליות ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של טורים אינסופיים. הטור המייצג את הפונקציה האקספוננטית מורכב מאברים עם חזקות זוגיות ואי־זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את וטור החזקות האי־זוגיות מרכיב את . הטור האינסופי ל־cos נגזר מהטור האינסופי ל־cosh באמצעות הפיכתו לטור מתחלף. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל־sin מהטור ל־sinh, אלא שהפעם החזקות האי־זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור .

ראו גם

ביאורים

  1. ^ או פשוט כאשר מנרמלים את מהירות האור .


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0