אינטגרל גאוסיאני

אינטגרל גאוסיאני (על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס) הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:

$$\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx$$

והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא-טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל

$$\int e^{-x^{2}}dx$$

וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר המופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, מתנד הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא-אמיתי).

גאוסיאן במשתנה אחד

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},\quad a>0$$

הוכחת הנוסחה

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

1. מחשבים את $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$
2. מחשבים את $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx$ באמצעות החלפת משתנה.
3. מחשבים את $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}dx$ באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1

כדי לחשב $I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ , נכפול את $I$ באותו אינטגרל: $I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy$

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים כי $I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy$ . נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור $x-y$ . נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות $(r,\phi )$ כאשר $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ ו-$\phi$ הזווית בין $r$ לציר X.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של ההתמרה $dx\,dy=r\,dr\,d\phi$ , ומקבלים כי $I^{2}=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\phi$ .

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים כי

$I^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr=\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}2r\,dr$

כעת נשים לב כי ${\frac {d}{dr}}(r^{2})=2r$ ולכן ${\frac {d}{dr}}e^{-r^{2}}=-e^{-r^{2}}2r$ , ולכן $I^{2}=\pi \left[-e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=\pi [0-(-1)]=\pi$ .

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים $I={\sqrt {\pi }}$ או לסיכום:

$$I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$$

שלב 2

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: $y^{2}=ax^{2}\ ,\ y={\sqrt {a}}x\ ,\ dx={\frac {dy}{\sqrt {a}}}$ ואז $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$

שלב 3

ההשלמה לריבוע:

$-(ax^{2}+bx+c)=-a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {b^{2}}{4a}}-c$

האינטגרציה על הריבוע נותנת ${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספות

יש לציין שאינטגרל זה הוא פונקציה זוגית ולכן

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של $x$ ,

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1}\\\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}\end{aligned}}$

אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים

אינטגרל של $n$ משתנים בתבנית בילינארית:

$\int e^{-{\frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}}dx^{n}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}$

כאשר $A$ היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה

כאשר המקדם של $x^{2}$ הוא $\pm i$ עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:

${\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ix^{2}}dx&=(1-i){\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ix^{2}}dx&=(1+i){\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\end{aligned}}$

קישורים חיצוניים

• אינטגרל גאוסיאני, באתר MathWorld (באנגלית)
• סרטון המדגים כיצד פותרים אינטגרל גאוסיאני (באנגלית)