אינטגרל רב-ממדי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: אי דיוקים (אופן חישוב).
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

אינטגרל רב-ממדי הוא הרחבה של אינטגרל מסוים לפונקציה בשני משתנים או יותר (פונקציה מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y,z)} למשל). אינטגרל לא-מסוים אינו מוגדר עבור פונקציה עם יותר ממשתנה אחד, כי לא מוגדרת פונקציה קדומה שלה, או פעולת גזירה שבעזרתה חוזרים לפונקציה המקורית. את המקרה הכללי ביותר מספק משפט פוביני, המספק נוסחה לחישוב אינטגרל לבג רב-ממדי על מרחבי מידה כלליים (סיגמא-סופיים).

את האינטגרל של הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,y)} (אינטגרל כפול – פונקציה עם שני משתנים) בתחום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מסמנים באמצעות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy}

כאשר מספר סימני האינטגרציה מותאם למספר המשתנים שעליהם היא מבוצעת.

לאינטגרלים רב-ממדיים משמעות גאומטרית ופיזיקלית: כפי שאינטגרל חד-ממדי יכול לחשב את השטח במישור בין שני עקומים, כך בעזרת אינטגרל דו-ממדי, הנקרא אינטגרל כפול, מחשבים את הנפח בין שני משטחים במרחב, ובממדים גבוהים יותר מחשבים היפר-נפח. דוגמה נוספת היא חישוב מומנט התמד של גוף דו-ממדי או תלת-ממדי בעל צפיפות משתנה.

הגדרה (אינטגרל כפול)

אינטגרל כפול מופעל על פונקציה המוגדרת ואינטגרבילית בתחום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D\subset\R^2} כלשהו החלקי למישור XY, כלומר פונקציה מהצורה: . פונקציה כזו, המגדירה ערך עבור נקודה במישור XY, נקראת גם שדה סקלרי ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^2} .

ניקח את התחום עליו מוגדרת הפונקציה ונרחיב אותו למלבן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D\sube\text{Rec}} . נניח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Rec}=[a,b]\times[c,d]} כעת עלינו להרחיב גם את הפונקציה, וכדי לא לשנות את ערך האינטגרל נרחיב כך:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y)=\begin{cases}f(x,y)&(x,y)\in D\\0&\text{else}\end{cases}}

בהגדרה זו, לא הוספנו נפח בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} למישור XY, ולכן ברור כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint\limits_\text{Rec}F(x,y)\,dx\,dy} .

את האינטגרל הכפול על מלבן נגדיר בעזרת אינטגרל רימן. נחלק את המלבן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Rec}} למלבנים קטנים, שאורך האלכסון שלהם שואף לאפס, נעשה זאת על ידי חלוקת הקטע לקטעים קטנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=x_0\le x_1\le\ldots\le x_k=b} , וחלוקת הקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [c,d]} לקטעים קטנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=y_0\le y_1\le\ldots\le y_m=d} ולכל מלבן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{ij}=[x_i,x_{i+1}]\times[y_j, y_{j+1}]} ניתן ערך שרירותי של נקודה הנמצאת בתוכו (כמו בסכום רימן רגיל). כאשר אורך האלכסון המקסימלי (מכל המלבנים ) ישאף ל-0, נקבל את האינטגרל הכפול על המלבן, והוא שווה לאינטגרל הכפול על התחום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שחיפשנו.

רקע

מבחינה היסטורית, אינטגרל רימן שהוגדר על ידי המתמטיקאי ברנהרד רימן קודם לאינטגרל לבג שהוגדר על ידי אנרי לבג ופיתוחו דורש פחות ידע מתמטי מוקדם. לעומתו, כדי להגדיר את אינטגרל לבג אמנם יש להשתמש במושגים מתורת המידה שפותחה לשם מטרה זו. למרות זאת הטיפול המתמטי באינטגרל לבג נוח הרבה יותר מבאינטגרל רימן והוא גם כללי בהרבה. כך, בתורת המידה, הגדרת אינטגרל כפול אינה שונה בדבר מהגדרת האינטגרל הרגיל וכמוהו תלויה רק בבניית פונקציית מידה מתאימה על המרחב הדו-ממדי. מידה כזו ניתן לבנות על ידי המלבנים בדומה לבנייה של מידת לבג על הישר הממשי באמצעות הקטעים הסופיים.

חישוב אינטגרל כפול

בניגוד לאינטגרל על הישר הממשי, אותו ניתן לעיתים קרובות לחשב באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי את האינטגרל הכפול לא ניתן לחשב בדרך זו ישירות. במקרה המיוחד בו התחום עליו עורכים את האינטגרציה הוא מלבני, ניתן לבצע את האינטגרציה על ידי אינטגרציה כפולה של אינטגרל חד-ממדי בכל פעם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dx\,dy=\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx}

במקרים בהם התחום אינו מלבני, נשתמש בדימויו של האינטגרל לסכום: כלומר שאם המשתנה Y חסום בין שתי עקומות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)>g(x)} ניתן לחשב את האינטגרל בעזרת סכימת המשתנה ה-Y מ-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} עד , וסכימת תוצר זה על כל ערכי X.

ראו גם


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0