אריח (מתמטיקה)
.svg)
בתיאוריה המתמטית של ריצוף המישור, אריח (או פרוטוטיל - prototile) הוא אחת מהצורות המהוות את אריחי היסוד ב"רצפה".[1]
הגדרה
ריצוף של מישור או של כל חלל אחר הוא כיסוי של החלל על ידי צורות סגורות, הנקראות אריחים, שיש להן פנים ייחודיים. חלק מהאריחים עשויים להיות תואמי חפיפה לאחד או יותר מהאריחים האחרים. אם S הוא מכלול האריחים ברצפה, קבוצת R של צורות נקראת קבוצת אריחים (פרוטוטילים) אם אין שתי צורות ב-R תואמות זו לזו, וכל אריח ב-S תואם את אחת הצורות ב- R[2]
אפשר לבחור קבוצות רבות של פרוטוטילים לריצוף: תרגום (העתקה) או סיבוב כל אחד מהאריחים מייצר מערך אריחים תקף אחר. עם זאת, לכל מערך אריחים יש את אותה עוצמה (cardinality), כך שמספר האריחים מוגדר היטב. אומרים שרצפה היא מונוהדרלית אם יש לה בדיוק אריח אחד.
אפריודיות
קבוצה של אריחים אמורה להיות אפריודית אם כל ריצוף עם אריחים אלה הוא רצפה אפריודית (שאינה מחזורית במרחב). לא ידוע אם קיימת צורה דו-ממדית אחת (שאלה זו מכונה "בעיית איינשטיין")[3] היוצרת אריח של רצפה אפריודית, אך לא של כל רצפה אפריודית. כלומר, קיומה של קבוצה מונוהדרלית אפריודית הוא שאלה פתוחה בגאומטריה. אריח סוקולאר-טיילור יוצר אריח אפריודי דו-ממדי, אך מוגדר על ידי תנאי התאמה קומבינטוריים ולא רק על פי צורתו בלבד. בממדים גבוהים יותר הבעיה נפתרת: אריח דנזר-שמיט-קונוויי הוא אריח של אריח מונוהדרלי אפיריודי של המרחב האוקלידי התלת-ממדי, ואינו יכול לרצף חלל באופן מחזורי.
הערות שוליים
- ^ Cederberg, Judith N. (2001), A Course in Modern Geometries, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer-Verlag, p. 174, ISBN 978-0-387-98972-3.
- ^ Kaplan, Craig S. (2009), Introductory Tiling Theory for Computer Graphics, Synthesis Lectures on Computer Graphics and Animation, Morgan & Claypool Publishers, p. 7, ISBN 978-1-60845-017-6.
- ^ Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2012), "Forcing nonperiodicity with a single tile", The Mathematical Intelligencer, 34 (1): 18–28, arXiv:1009.1419, doi:10.1007/s00283-011-9255-y, MR 2902144.
