כופלי לגראנז'

במתמטיקה, כופלי לגראנז' (על שם המתמטיקאי האיטלקי ז'וזף לואי לגראנז') הם משתנים מלאכותיים אותם מוספים לפונקציה ממשית בת כמה משתנים, על־מנת לאפשר מציאת נקודות קיצון של הפונקציה בכפוף לאילוצים. נעשה בהם שימוש נרחב במתמטיקה, בפיזיקה (בפרט במכניקה אנליטית) ובחקר ביצועים לפתרון בעיות תכנון לא-לינארי.

השיטה הטבעית למצוא נקודת קיצון של פונקציה גזירה, במיוחד בתחום פתוח, היא להשוות את הנגזרות החלקיות ל־0. אכן, על־פי משפט פרמה, הנגזרות החלקיות מתאפסות בכל נקודת קיצון של פונקציה גזירה בתחום פתוח. בתחום שאינו פתוח, עשויות להיות נקודות קיצון גם על השפה. אילוצים על המשתנים, הנתונים בצורת משוואה כגון $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ , הופכים את התחום לקבוצה סגורה, שכולה שפה, ובכך מונעים לחלוטין את השימוש הישיר בשיטת הנגזרות החלקיות.

ניתן להסביר אינטואיציה גרפית לשיטה בכך שבמקומות בהם מתקבל מקסימום על גבי הפונקציה בהתחשב באילוץ, כיוון הנגזרת הכללי יהיה באותו כיוון של הנגזרת של האילוץ, ולכן הן יהיו שוות אחת לשנייה עד כדי מכפלה בסקלר.

תיאור השיטה

שיטת כופלי לגראנז' הופכת בעיה שבה מבקשים למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה בת $n$ משתנים $f:D\to \mathbb {R}$ (כאשר $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ הוא תחום פתוח), בכפוף ל־ $k$ אילוצי שוויון מהצורה $g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ , לבעיה בה יש למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה בעלת $n+k$ משתנים, שמהם $k$ הם כופלי לגראנז', ללא אילוצים.

השיטה היא להגדיר פונקציה חדשה:

h(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})\equiv f(x_{1},\ldots ,x_{n})+\lambda _{1}g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\cdots +\lambda _{k}g_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

כאשר $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$ נקראים כופלי לגראנז'. על־מנת למצוא נקודת קיצון, נגזור את הפונקציה לפי כל המשתנים – המקוריים והמלאכותיים – ונקבל $n$ משוואות מהסוג ${\frac {\partial h(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})}{\partial x_{i}}}=0$ , בנוסף ל־ $k$ האילוצים $g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ . הפתרונות למערכת המשוואות המתקבלות הן הנקודות החשודות כנקודות קיצון, שאותן יש לבדוק פרטנית בדרכים אחרות.

ההסיאן

ההסיאן של מערכת המשוואות מזהה אילו נקודות חשודות הן נקודות מינימום או מקסימום, ואילו הן נקודות אוכף בלבד.

דוגמאות

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x,y)=xy$ . ניקח את האילוץ שכל הנקודות שהפונקציה מקבלת הן על המעגל $x^{2}+y^{2}=1$ . נגדיר

h(x,y,\lambda )=xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-1)=0

המשוואות שנקבל יהיו:

{\begin{aligned}{\frac {\partial h(x,y,\lambda )}{\partial x}}=y+\lambda {\frac {\partial (x^{2}+y^{2}-1)}{\partial x}}=0\\{\frac {\partial h(x,y,\lambda )}{\partial y}}=x+\lambda {\frac {\partial (x^{2}+y^{2}-1)}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial h(x,y,\lambda )}{\partial \lambda }}=x^{2}+y^{2}-1=0\end{aligned}}

פתרון המשוואות יתן

{\begin{aligned}x=-2y\lambda \\y=-2x\lambda \\\lambda =-{\frac {y}{2x}}\\x^{2}=y^{2}\\x=y=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

פחית היא גליל ונפחה הוא נפח הגליל $V$ . חומר הגלם פרופרציוני ישר לשטח פני הגליל $A$ , לכן נחפש את המקרה עבורו שטח הפנים הוא מינימלי. לתיאור הגליל דרושים שני משתנים, רדיוסו $r$ וגובהו $h$ . את נקודת הקיצון אנו צריכים למצוא עבור הפונקציה $A(r,h)=2\pi r^{2}+2\pi rh$ , כשהאילוץ הוא $V=\pi r^{2}h~\Rightarrow ~V-\pi r^{2}h=0$ . המשוואות המתקבלות הן: