משפט פרמה (לנקודות קיצון)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ואותה הנקודה היא נקודת קיצון של הפונקציה (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), אז הנגזרת באותה הנקודה שווה לאפס. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא 0.

יש לשים לב כי ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה ל-0 גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.

זה אינו המשפט המפורסם המוכר כמשפט האחרון של פרמה.

ניסוח המשפט

תהי פונקציה המוגדרת בקטע ותהי נקודת קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בה הפונקציה גזירה, אז .

הוכחה

נוכיח במקרה שבו היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה לנקודות מינימום דומה.

מאחר ש- נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה המוכלת כולה בקטע , כך שלכל מתקיים . מכאן כי עבור כל שעבורו מתקיים .

כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה  :

זאת כי המונה תמיד שלילי או 0, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה ל-0 היא מצד ימין.

לעומת זאת:

כי הפעם המכנה שלילי תמיד.

מאחר והפונקציה גזירה בנקודה הרי שמתקיים ולכן בהכרח .

הכללה למקרה מרובה המשתנים

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים . אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על-פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.