מודל דרודה

מודל דרודה הינו מודל פיזיקלי קלאסי המסביר התנהגויות שונות של מתכות, ובמיוחד מוליכות חשמלית ומוליכות חום. מודל זה מנבא את חוק אוהם ואת המוליכות הסגולית של מתכות, כמו גם תכונות תרמודינמית שונות, כגון קיבול חום סגולי או מקדם קומפרסיביליות. המודל הוצע לראשונה בשנת 1900 על ידי הפיזיקאי הגרמני פאול דרודה. מאוחר יותר הורחב המודל על ידי הנדריק לורנץ ועל ידי ארנולד זומרפלד שכלל בו אפקטים קוונטיים.

היסטוריה

השאלה מדוע חלק מהחומרים מוליכים חשמל וחום טוב יותר מאחרים הייתה שאלה פתוחה בפיזיקה של סוף המאה התשע עשרה. בשנת 1897 גילה ג'יי. ג'יי. תומסון את קיומו של האלקטרון, שהיווה מועמד טבעי לתפקיד נושא הזרם במתכות. שלוש שנים לאחר מכן פרסם פאול דרודה את המודל הפשטני שלו להולכה במתכות, שהוא למעשה יישום התורה הקינטית של הגזים (שהייתה כבר אז תורה מוצלחת מבחינת כח הניבויי שלה) עבור מתכות. חשוב לזכור כי מודל זה פותח בתקופה בה מבנה האטום לא היה ידוע (לפני מודל האטום של בוהר) ומכניקת הקוונטים עוד לא פותחה.

המודל מנבא בהצלחה רבות מהתופעות הנצפות במתכות, וביניהן חוק אוהם, חוק וידמן פרנץ, תדירות הפלזמה ועוד. עם זאת, המודל פשטני מאד ואינו כולל אפקטים קוואנטיים ולכן קיימים פערים רבים בין תחזיות המודל למדידות. על אף מגבלותיו, המודל משמש עד היום כבסיס אינטואיטיבי לדיון על מוליכות במתכות ויכול אף לשמש כמודל לחישובי אצבע.

הנחות המודל

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

על פי מודל דרודה, האלקטרונים (בכחול) נעים בין היונים הטעונים חיובית (באדום) ומתנגשים בהם.

מודל דרודה מניח כי המתכת מורכבת מגז אלקטרונים הנעים על רקע של יונים נייחים. המודל מניח שניתן לתאר את תנועת האלקטרונים במתכת באופן קלאסי, ושהאלקטרונים מתנהגים כמו גז אידאלי פרט להתנגשויותיהם עם היונים. באופן פורמלי הנחות המודל הן:

• המתכת מורכבת מיונים נייחים ומאלקטרונים חופשיים הנעים ביניהם (ראו איור).
• כל אלקטרון נע ללא אינטראקציה עם האלקטרונים האחרים, וללא אינטרטקציה עם היונים פרט להתגשויות שמתרחשות באופן אקראי. בין ההתנגשויות האלקטרונים נעים אך ורק תחת השפעת שדות חיצוניים (מגנטיים או חשמליים) אם קיימים כאלה.
• בפרק זמן אינפיניטסימלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ dt } ההסתברות שתתרחש התנגשות לאלקטרון מסוים היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ dt/\tau } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau} הינו קבוע שאינו תלוי במיקום, במהירות האלקטרון או בזמן שחלף מאז ההתנגשות הקודמת. במילים אחרות, ההתנגשויות של אלקטרונים הם תהליכים פואסוניים. ניתן להוכיח שמכך נובע כי הזמן הממוצע בין התנגשויות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau} .
• לאחר התנגשות, האלקטרון יוצא במהירות שכיוונה אקראי וגודלה נקבע על פי הטמפרטורה באזור ההתנגשות (על פי חוק החלוקה השווה).

הזמן בין ההתנגשויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau }

הזמן הממוצע בין ההתנגשויות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } , הינו פרמטר מרכזי במודל. את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } ניתן להעריך על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=\frac{l}{\bar v} } , כאשר $\ l$ הוא המהלך החופשי הממוצע ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v } היא המהירות הממוצעת של האלקטרונים. קשה למדוד את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } במדויק.

על פי הנחות המודל, המהלך החופשי הממוצע הוא מסדר הגודל של המרחק בין אטומים במתכת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ l \approx 1-10 \AA } (כלומר בין 1 ל-10 אנגסטרם). את המהירות הממוצעת ניתן לקבל מחוק החלוקה השווה:

.${\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T\Rightarrow {\bar {v}}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}$

עבור טמפרטורת החדר, מתקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v \approx 10^7 cm/sec } , ובסה"כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \approx 10^{-14}-10^{-15} sec } .

כיום ידוע שהערכה זו רחוקה מהאמת, היות שהאלקטרונים אינם מצייתים להתפלגות הקלאסית של גז אידאלי (התפלגות מקסוול בולצמן). זאת משום שאלקטרונים, שהינם פרמיונים, מוגבלים על ידי עקרון האיסור של פאולי, ולכן מצייתים להתפלגות פרמי דירק, המנבאת להם מהירות ממוצעת גבוהה בהרבה (בערך פי מאה).

מודל דרודה וחוק אוהם

אחת ההצלחות של מודל דרודה הוא ניבוי הגרסה המיקרוסקופית של חוק אוהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec J = \sigma \vec E } עבור זרם ישר באופן הבא:

נחשב את צפיפות הזרם ${\vec {J}}$ במתכת. זו נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec J = n e \vec v_d } , כאשר e מטען האלקטרון, n צפיפות האלקטרונים במתכת, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v_d } המהירות הממוצעת של האלקטרונים (מהירות הסחיפה).

בהיעדר שדה חשמלי חיצוני, תנועת האלקטרונים נקבעת אך ורק על ידי ההתנגשויות ולכן המהירות הממוצעת היא אפס (מכיוון שהמהירות הינה אקראית, ולכן מתפלגת באופן אחיד בכל הכיוונים).

כאשר מופעל שדה חשמלי חיצוני קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E } , האלקטרונים ינועו בין ההתנגשויות בהשפעת השדה. אם מהירות האלקטרון לאחר ההתנגשות האחרונה היא הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} , אזי לאחר זמן t מהתנגשות זו, מהירותו תהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v = \vec v_0 + \frac{e\vec E t}{m} } . אם נמצע על כל האלקטרונים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v_0 } יתמצע לאפס, והזמן שחלף מאז ההתנגשות האחרונה יתמצע ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } . המהירות הממוצעת היא לפיכך: ${\vec {v}}_{d}={\frac {e{\vec {E}}\tau }{m}}$, וצפיפות הזרם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec J = \frac{ne^2\tau}{m} \vec E } .

כלומר צפיפות הזרם פרופורציונית לשדה החשמלי (כפי שטוען חוק אוהם) ומקדם הפרופורציה (המוליכות הסגולית) הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma =\frac{ne^2\tau}{m} } . בנוסף, כיוון שהזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } קטן כשהטמפרטורה עולה, המודל מנבא כי המוליכות החשמלית תפחת עם עליית הטמפרטורה, כפי שאכן נצפה במתכות (בטמפרטורת החדר).

משוואות התנועה במודל דרודה ושימושיהן

באופן כללי, ניתן להראות כי המהירות הממוצעת של האלקטרונים במודל דרודה מקיימת את המשוואה הבאה:

.$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}-{\frac {m{\vec {v}}}{\tau }}$

כלומר השינוי בתנע הממוצע נובע מכוחות חיצוניים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F } ואיבוד תנע בכתוצאה מהתנגשויות.

בעזרת משוואה זו ניתן לחשב את המוליכות במקרים מסובכים יותר, כגון בנוכחות שדה מגנטי (אפקט הול) או במקרה של שדה חשמלי משתנה בזמן (זרם חילופין). שימוש נוסף של מודל דרודה הוא בחישוב מוליכות החום של מתכות (חוק וידמן פרנץ).

תוצאות חשובות במודל זה הינם:

מוליכות בזרם חילופין

עבור שדה חשמלי מן הצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E(t) = \vec E_0 e^{-i\omega t} } מתקבלת הביטוי למוליכות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = \frac{\sigma_0}{1-i\omega \tau}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_0 =\frac{ne^2\tau}{m} } היא המוליכות עבור זרם ישר (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \omega=0} ). בעזרת ביטוי זה ניתן לטפל במקרה של התקדמות קרינה אלקטרומגנטית במתכת, ולקבל את תלות המקדם הדיאלקטרי של המתכת בתדירות הקרינה

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \epsilon (\omega )=1-({\frac {\omega _{p}}{\omega }})^{2}}

(ביחידות cgs), כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p^2=\frac{4\pi ne^2}{m}} נקראת תדירות הפלזמה. ניתן לראות כי כאשר תדירות הקרינה נמוכה מתדירות הפלזמה המקדם הדיאלקטרי הוא מספר דמיוני טהור, ולכן קרינה בתדירות כזאת דועכת אקפוננציאלית במתכת. לעומת זאת, קרינה בתדירות גבוהה מתדירות הפלזמה יכולה להתקדם במתכת (בהנחה שכל הקירובים שנעשו עדיין תקפים בטווח התדירויות הרלוונטי).

מקדם מוליכות החום

מקדם מוליכות החום המתקבל במודל דרודה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa = \frac{1}{3}c_v \tau v^2}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_v } הוא קיבול החום הסגולי של גז האלקטרונים ו $v$ היא המהירות הממוצעת.

חסרונות המודל

כאמור, מודל דרודה זכה להצלחה כאשר פורסם עם ניבויים שהתאימו לניסוי. אולם לאחר מכן התברר שההתאמה לניסוי אינה מושלמת והיא אינה תקפה לכל סוגי המתכות ובכל התנאים, וכי ישנן תופעות רבות שאינן ניתנות כלל להסבר במסגרת מודל דרודה (ראו רשימה ארוכה בפרק 3 בספר של Ashcroft & Mermin). במקרה של חוק וידמן פרנץ, לדוגמה, מודל דרודה נותן תוצאה התואמת לערכים ניסיונים, אך זו תוצאה מקרית של שתי טעויות גדולות (בפקטור של בערך מאה) המקזזות זו את זו.

בפועל, ההנחות העומדות בבסיס המודל פשוט שגויות. השגיאות הבולטות הן:

• התייחסות לאלקטרונים כאל חלקיקים קלאסיים - האלקטרונים הינם פרמיונים וחוק החלוקה השווה אינו תקף עבורם (בטמפרטורת החדר).
• לא ניתן למדל את האינטראקציה בין האלקטרונים ליונים בעזרת התנגשויות - ישנה חשיבות למבנה המחזורי של הגביש היוני (כמו גם לפגמים ואי סדר בו). למעשה, מדידות מראות כי לעיתים המהלך החופשי הממוצע הוא מסדר גודל של מיקרונים, ולעיתים אפילו סנטימטרים, מה שמצביע על כך שלא יכול להיות שהמנגנון שאחראי להתנגשויות הינו היונים (שמרוחקים זה מזה הוא מסדר גודל של אנגסטרומים).
• במודל דרודה ליונים אין כל תפקיד פרט לכך שהאלקטרונים מתנגשים בהם. במציאות, ליונים יש תפקיד מורכב יותר. לדוגמה, היונים לבדם יכולים לבצע הולכת חום (על ידי פונונים).

הרחבה ראויה לציון של מודל דרודה נעשתה על ידי הפיזיקאי הגרמני ארנולד זומרפלד. זומרפלד השתמש במודל דרודה, אך את מהירות האלקטרונים קבע מתוך התפלגות פרמי-דיראק ולא על פי חוק החלוקה השווה. באופן זה הצליח לשפר את ניבויי המודל, אך עדיין תופעות רבות נותרו ללא הסבר. גרסה זו של המודל מכונה מודל זומרפלד.

לקריאה נוספת

• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid state physics, 1976,
• M.Ali Omar, Elementary Solid State Physics 1993