מומנט התמד

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מומנט ההתמד של מסה (ידוע גם בשמות מומנט אינרציה, או מסה זויתית) מתאר את היחס בין מומנט כוח המופעל על גוף לבין התאוצה הזויתית שאותה יפתח הגוף סביב ציר הסיבוב (בדומה לתנועה קוית, שם המסה מתארת את היחס בין הכוח הפועל על הגוף לתאוצת הגוף).

מומנט ההתמד הוא תכונה של גוף עבור ציר סיבוב מסוים: אין משמעות לביטוי "מומנט ההתמד של הגוף", ללא ציון הציר סביבו הוא מחושב או נמדד.[1]

הגדרה מתמטית

Inertia01.JPG
  • נפח הגוף
  • המרחק של יחידת מסה מציר הסיבוב
  • מסת הגוף
  • פונקציית הצפיפות של הגוף
  • הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

במילים פשוטות

כדי לסובב כדורסל, למשל, על חוד מחודד יש להשקיע הרבה פחות מאמץ מאשר כדי לסובב כדור באולינג באותה מהירות. יהיה הרבה יותר קל לעצור כדורסל מסתובב מאשר כדור באולינג המסתובב באותה מהירות. באותה מידה, יש לבעוט בכדור באולינג בעצמה רבה יותר מאשר בכדורסל כדי לגרום לו להתקדם במהירות מסוימת. ההסבר לתופעה הוא שמסת כדור הבאולינג הרבה יותר גדולה. כמו שהמסה בתנועה ישרה (בעיטה) משפיעה על התאוצה שיקבל הגוף, כך קיים גורם פיזיקלי הדומה למסה המשפיע על השינוי במהירות סיבוב של גוף מסוים על ציר. אותו הגורם נקרא "מומנט התמד".

אם לשני גופים צורה זהה אזי הגוף בעל המסה הגדולה יותר יהיה גם בעל מומנט ההתמד הגדול יותר. לכן קל יותר לסובב כדורסל, שהוא בעל מומנט התמד קטן יותר. למשקולת, אשר רוב משקלה מרוכז בקצוות, מומנט ההתמד הגדול יותר מאשר למשקולת כדורית באותו המשקל. לכן קל יותר לעצור משקולת כדורית מסתובבת מאשר את המשקולת הראשונה המסתובבת על ציר.

ישנן מכוניות צעצוע רבות שניתן להתחיל להסיע אותן והן ממשיכות לנסוע מעצמן. בתוך המכונית נמצא גלגל מתכת כבד יחסית (גלגל תנופה). גלגל זה הוא בעל מומנט התמד גדול (יחסית) ולאחר שמתחילים להסיע את המכונית הוא מתחיל להסתובב וכשעוזבים אותה הוא ממשיך להניע. מומנט ההתמד הגבוה שלו מונע ממנו להאט במהירות (האטה שנגרמת תמיד בגלל כוח החיכוך) וכך המכונית ממשיכה לנסוע.

הסבר איכותי ושימושים

השימוש הבסיסי ביותר במומנט התמד הוא:

  • התאוצה הזויתית של גוף (שקולה לתאוצה קוית בתנועה בקו ישר)
  • מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור (במקרה הפשוט ובעצם שקול למסת גוף בתנועה בקו ישר)
  • מומנט הכח (שקול לכוח בתנועה בקו ישר)

ולכן נוסחת המומנט בתנועה מעגלית שקולה לחוק השני של ניוטון בתנועה בקו ישר:

מכאן רואים שככל שנפעיל מומנט כח גדול יותר על הגוף כך נקבל תאוצה זויתית גדולה יותר. תאוצה זויתית זו תתקבל ביחס ישר כאשר הוא קבוע היחס.

הסבר

הנוסחה עבור חישוב מומנט התמד של גוף מסוים היא:

כאשר:

  • מומנט ההתמד
  • צפיפות החומר
  • מרחק אנכי מציר הסיבוב
  • מסת הגוף
  • נפח הגוף

במקרה הבדיד (מספר סופי של חלקיקים נקודתיים בעלי מסה מוגדרת לכל אחד) ניתן להשתמש בנוסחה:

חישוב מומנט התמד של גוף מורכב

כאשר נרצה לחשב מומנט התמד של גוף מסובך המורכב ממספר של גופים נלך על־פי השלבים הבאים:

  • חישוב מומנט ההתמד של כל אחד מן המסות אשר מרכיבות את הגוף סביב הציר בו הגוף מסתובב
    • במקרה של מסה לא־נקודתית המרכיבה את הגוף (ריבוע,עיגול) נחשב את מומנט ההתמד שלה סביב הציר הרצוי בעזרת משפט שטיינר
  • נבצע חיבור של כל מומנטי ההתמד ונקבל את מומנט ההתמד השקול של הגוף המורכב

לדוגמא: מסה נקודתית מתנגשת התנגשות פלסטית בריבוע. כל המערכת מונחת על שולחן אופקי חלק. כעת זוג המסות יחלו להסתובב סביב מרכז המסה החדש לכן נפעל לפי השלבים:

  • חישוב מומנט ההתמד של הריבוע דרך משפט שטיינר כאשר המרחק מציר הסיבוב הוא המרחק מן מרכז המסה החדש (מסה נקודתי + ריבוע).
  • מומנט ההתמד של המסה הנקודתי הוא המסה כפול המרחק שלה בריבוע מן מרכז המסה החדש
  • נחבר את מומנטי ההתמד הללו ונקבל את מומנט ההתמד של הגוף המורכב

סכום מומנטי ההתמד

סכום מומנטי ההתמד למערכת צירים ישרת זווית איננו מושפע מהכוון של הצירים אלא רק ממיקום מוצא הצירים.

  • נפח הגוף
  • המרחק ליחידת מסה מראשית הצירים
  • פונקציית הצפיפות של הגוף
  • הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

מומנטי התמד של גופים שונים, סביב ציר הסיבוב

תיאור עצם תמונה מומנט התמד סביב ציר
מסה נקודתית PointInertia.svg
מסה מצומצמת
מרכז מוט דק אינפיניטסימלי
מסה, אורך
Moment of inertia rod center.svg
קצה מוט דק אינפיניטסימלי
מסה, אורך
Moment of inertia rod end.svg
טבעת דקה אינפיניטסימלית
מסה, רדיוס
Moment of inertia hoop.svg
דיסק דק אינפיניטסימלי
מסה, רדיוס
Moment of inertia disc.svg
טבעת גלילית דקה אינפיניטסימלית
מסה, רדיוס
Moment of inertia thin cylinder.png
גליל
מסה, רדיוס, גובה
Moment of inertia solid cylinder.svg
טבעת גלילית
מסה, רדיוסים, גובה
Moment of inertia thick cylinder h.svg
כדור חלול
מסה, רדיוס
Moment of inertia hollow sphere.svg
כדור מוצק
מסה, רדיוס
Moment of inertia solid sphere.svg
קליפה כדורית עבה
מסה, רדיוסים
Spherical shell moment of inertia.png
חרוט ישר חלול
מסה, רדיוס, גובה
Moment of inertia cone.svg
חרוט ישר מוצק
מסה, רדיוס, גובה
טורוס מוצק
מסה, רדיוס הצינור, רדיוס מרכז הצינור
Torus cycles (labeled).png ציר ניצב למישור:
ציר במישור:
אליפסואיד מוצק
מסה, רדיוסים
Ellipsoide.png
מרכז מלבן דק אינפיניטסימלי
מסה, אורך ורוחב בהתאמה
Recplane.svg
קצה מלבן דק אינפיניטסימלי
מסה, אורך ורוחב בהתאמה
Recplaneoff.svg
מרכז תבה מוצקה
מסה, אורך רוחב וגובה בהתאמה
Moment of inertia solid rectangular prism.png

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. מהו מומנט התמדה? רוני, davidson.weizmann.ac.il (בעברית)


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0