ערך מומלץ

קבוצת קנטור

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה הנבנית בצורה האיטרטיבית הבאה:

מסירים מקטע ישר את השליש המרכזי שלו, ומבצעים פעולה דומה בכל אחד משני הקטעים שנותרו, כך שנשארים עם ארבעה קטעים. ממשיכים את התהליך גם על הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף.

קבוצה זו התגלתה בשנת 1874 בידי המתמטיקאי הנרי ג'ון סטיבן סמית'[1] ותוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883.[2] חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, הסותרות את האינטואיציה ומציגות מעט ממורכבותו ומייחודו של האינסוף. תכונות אלה דחפו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות.

קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות אברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 – אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך יש בה אינסוף איברים; למעשה מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בה כל כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה, כלומר יותר איברים מאשר כל המספרים הטבעיים יחדיו).

מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא בלתי-קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.

איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור

בניית קבוצת קנטור

בנייה איטרטיבית

באופן פורמלי, בנייה של קבוצת קנטור נעשית בצורה איטרטיבית:

  • בשלב הראשון, מחלקים את הקטע לשלושה חלקים שווים. מסירים מהקטע את השליש האמצעי, שהוא הקטע הפתוח . נותרים שני קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא (כלומר שליש).
  • בשלב השני, מחלקים כל אחד משני הקטעים שנותרו, כלומר הקטעים לשלושה חלקים שווים ומסירים שוב את הקטע הפתוח האמצעי בכל אחד מהם (במקרה שלנו – את . נותרים 4 קטעים סגורים שאורך כל אחד מהם הוא (כלומר תשיעית).
  • בשלב ה־־י מחלקים כל קטע שנותר לשלושה חלקים שווים ושוב מסירים מכל קטע את הקטע הפתוח האמצעי. לאחר ההסרה, נותרים קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא .

נסמן את הקבוצה שהתקבלה בשלב ה־־י ב- , אזי קבוצת קנטור מוגדרת כחיתוך בן־מנייה של כל הקבוצות הללו

כלומר, קבוצת קנטור היא אוסף כל הנקודות בקטע שלא הוסרו בתהליך המתואר לעיל.

בנייה לפי בסיס 3

Cantor base 3.svg

אפשר לקבל את קבוצת קנטור אם אוספים את כל המספרים בקטע שאפשר לכתוב אותם בבסיס 3 בלי להשתמש בספרה 1.

בשביל להיווכח שכך מתקבלת קבוצת קנטור, נשים לב שבבסיס 3 המספר נכתב כ-0.1 ואילו כ-0.2. כלומר בשלב הראשון באלגוריתם האיטרטיבי המוזכר למעלה אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה , לבד אלה שבהם כל ה--ים הם 0 (כלומר 0.1) או כל ה--ים הם 2 (כלומר ), ונשארים רק עם מספרים מהצורה או .

יש לשים לב שגם אפשר לכתוב וגם , וכך לא להשתמש בספרה 1, ולכן שתי נקודות אלה שייכות לקבוצת קנטור.

בשלב הבא מחלקים את הקטעים לשלישים. בקטע הראשון אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה (חוץ מאלה בהם כל ה--ים זהים, כלומר שני הקצוות) ונשארים עם מספרים מהצורה או , ומהקטע השני את כל המספרים מהצורה , ונשארים עם מספרים מהצורה או .

אם כן האיטרציה ה--ית באלגוריתם האיטרטיבי מטפלת במספרים בהם הספרה 1 הראשונה מופיעה במקום ה--י אחרי הנקודה (לפי בסיס 3).

בנייה רקורסיבית

אפשר לתת גם הגדרה רקורסיבית: "קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת משיבוץ עותק מוקטן של קבוצת קנטור בשליש הראשון והשליש האחרון של הקטע ".

זוהי אמנם הגדרה מעגלית, אך קל 'לתקן' אותה להגדרה מדויקת: קבוצת קנטור היא תת-הקבוצה הגדולה ביותר (ביחס להכלה) של הקטע , השווה לאיחוד של עותק מוקטן שלה בשליש הראשון, עם עותק מוקטן שלה בשליש האחרון.

על מנת לקבל את קבוצת קנטור האמיתית צריך להשתמש ברקורסיה אינסופית כאמור למעלה. אבל לכל שימוש גרפי מעשי צריך לקבוע תנאי קצה בו אחרי קבוצת קנטור בעומק מסוים של הרקורסיה תצויר כקו עליה היא נבנית (או כשתי הנקודות בקצהו).

תכונות

קבוצת קנטור היא בעלת עוצמת הרצף, אבל אינה מכילה אף קטע פתוח, ומידת לבג שלה היא אפס. כחיתוך (בן מניה) של איחודים סופיים של קטעים סגורים, היא מהווה קבוצה סגורה. ומאחר והיא חסומה, היא גם קומפקטית. בנוסף, הפונקציה האופיינית של קבוצת קנטור אינטגרבילית רימן והאינטגרל רימן שלה שווה לאפס.

מבוא אינטואיטיבי

אם נסכם את אורכי הקטעים שהסרנו בזמן הבנייה, נקבל

כלומר – הסרנו קטעים באורך כולל של 1. מכאן שה"אורך" של הקבוצה הנותרת הוא אפס. למרות זאת, לא רק שנותרות נקודות, "מספר" הנקודות שנשארו שווה למספר הנקודות בקטע שממנו התחלנו. (באופן פורמלי, קבוצת קנטור היא "שוות עוצמה" בקטע ).

קבוצת קנטור היא הדוגמה הנפוצה ביותר לקבוצה שאינה בת מנייה שמידת לבג שלה היא מידה אפס. זהו מצב מפתיע.

עוצמתה של קבוצת קנטור

עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שנקודות הקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון בצעד הראשון, אינן מוסרות (ולכן הן נכללות בקבוצת קנטור).

כיוון שבתהליך יש מספר בן מנייה של צעדים, הרי נובע שעוצמת קבוצת קנטור אינה קטנה מ- (עוצמת הטבעיים). אף שעלול להיווצר הרושם כי רק נקודות הקצה הללו נכללות בקבוצת קנטור, לא זה המצב – גם הנקודה למשל, שאינה נקודת קצה, נכללת בה: היא נמצאת בקטע השמאלי בצעד הראשון, בקטע הימני בצעד השני, בקטע השמאלי בצעד השלישי וכך הלאה, עד אינסוף, היא לעולם אינה בשליש האמצעי, שאותו מסירים בתהליך.

באופן דומה, גם הנקודה . היא מחלקת כל קטע ביחס של , ולעולם לא תיפול בשלישי אמצעי של אף קטע. אפשר להוכיח באינדוקציה על האיטרציות, עבור 2 הנקודות הנ"ל.

נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו איברים (עוצמת הרצף). עוצמה זו זהה לעוצמת הנקודות בקטע והיא גדולה מעוצמת הטבעיים (לפי האלכסון של קנטור). נעשה זאת על ידי כך שנראה כי קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינארי שלהם לא מופיעה הספרה 1. כזכור, פיתוח בבסיס עשרוני לכל הוא

(פיתוח זה איננו יחיד שכן 1 ואחריו סדרה אינסופית של אפסים שקול ל-0 ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)

באותו אופן אפשר לרשום פיתוח בבסיס 3:

נסתכל בקבוצת כל כך ש-1 לא מופיע בפיתוח הטרינארי שלהם

לכל מספר כזה, אפשר להתאים נקודה בקבוצת קנטור. יותר פשוט לתאר כיצד לכל נקודה בקבוצת קנטור אפשר להתאים ייצוג טרנארי של מספר בקטע [0,1].

  • שלב ראשון: עבור נסתכל בשני תתי-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם בקטע השמאלי יותר – נרשום 0 בספרה הראשונה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר – נרשום 2.
  • שלב שני: נסתכל בתת-הקטע בו מוכל. נסתכל על תתי-הקטעים שלו המתקבלים מקבוצת קנטור: אם בקטע השמאלי יותר – נרשום 0 בספרה השנייה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר – נרשום 2.
  • שלב -י: נסתכל בתת-הקטע בו מוכל. נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם בקטע השמאלי יותר – נרשום 0 בספרה ה--ית בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר – נרשום 2.

לפי הלמה של קנטור נקבל שחיתוך בן מנייה של כל קטעים אלה יתכנס לנקודה יחידה ובאמצעות הבניה לעיל הראינו את הצגתו בצורה טרינארית.

מתיאור זה ברור גם איך אפשר לשכן כל מספר שבפיתוח הטרינארי שלו מופיעים רק הספרות 0 או 2 בקבוצת קנטור. מכאן, זה ברור מדוע ההתאמה בין שתי הקבצות היא חד-חד-ערכית ועל.

נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה 1 אינה בת מנייה; אבל ההתאמה

(פונקציית קנטור) היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע .

מידתה של קבוצת קנטור

קבוצת קנטור מכילה בכל שלב איטרטיבי ־י, קטעים שאורך כל קטע כזה הוא . ולכן בכל שלב ניתן לכסות אותה על ידי אורך קטעים כנ"ל. בשלב ה--י של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום האורכים שלהם שווה . מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.

קבוצת קנטור היא פרקטל

קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בגורם שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא

אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד 1, מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).

תכונות טופולוגיות

קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה-בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.

אם קטע פתוח מכיל נקודה של קבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף נקודות שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".

קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק. היא בלתי-קשירה לחלוטין כי היא לא מכילה אף קטע לא־טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (וראו גם פונקציית קנטור: הכללות).

וריאציות

קבוצת סמית-וולטרה-קנטור

קבוצת סמית-וולטרה-קנטר (בלבן)

במקום להוריד מכל קטע את השליש האמצעי שלו, אפשר להוריד חלק בכל גודל אחר מאמצע הקטע. אם גודל הקטע קטן משליש, אפשר לבנות קבוצה הומיאומורפית לקבוצת קנטור שמידת לבג שלה היא מספר חיובי (אך היא עדיין דלילה). הקבוצה בה מורידים מכל קטע את הרבע שלו נקראת "קבוצת סמית-וולטרה-קנטור" על שם הנרי סמית וויטו וולטרה.

אבק קנטור

אבק קנטור הוא הכללה רב-ממדית של קבוצת קנטור. ניתן להגדיר אותו כמכפלה הקרטזית של קבוצת קנטור בעצמה. כמו קבוצת קנטור, גם אבק קנטור הוא ממידה אפס.

הכללה דו-ממדית אחרת של קבוצת קנטור היא שטיח שרפינסקי, בו מתחילים עם ריבוע ומורידים ממנו את החלק האמצעי ( ממנו) ומשמונת הריבועים שנותרו מורידים גם כן את האמצע, וכך עד אינסוף. הכללה דומה עבור תלת-ממד בה מורידים מכל קובייה את האמצע מכונה ספוג מנגר.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Stephen Willard, General Topology, Chapter 30, 1970.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. Henry J.S. Smith (1874) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
  2. Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V", Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.


ערך מומלץ
Article MediumPurple.svg