מכפלה חיצונית

באלגברה ליניארית, מכפלה חיצונית (באנגלית: outer product) היא פעולה על שני וקטורי קואורדינטות שתוצאתה היא מטריצה שכל ערכיה הם מכפלות של איבר בווקטור הראשון עם איבר בווקטור השני. אם וקטורי הקואורדינטות הם מממדים n ו־m, אזי המכפלה החיצונית שלהם היא מטריצה מסדר n × m. באופן כללי יותר, בהינתן שני טנזורים (מערכים רב-ממדיים של מספרים), המכפלה החיצונית שלהם היא טנזור. המכפלה החיצונית של טנזורים מכונה גם מכפלה טנזורית, וניתן להשתמש בה כדי להגדיר את אלגברת הטנזורים.

מכפלה חיצונית אינה:

מכפלה סקלרית (מקרה פרטי של מכפלה פנימית), אשר מקבלת זוג וקטורי קואורדינטות כקלט ומייצרת סקלר.
מכפלת קרונקר (Kronecker product), אשר לוקחת זוג מטריצות כקלט ומייצרת מטריצת בלוקים
כפל מטריצות סטנדרטי

הגדרה

בהינתן שני וקטורים בגודל $m \times 1$ ו־ $n \times 1$ בהתאמה,

𝐮 = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ ⋮ \\ u_{m} \end{matrix}], 𝐯 = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}]

המכפלה החיצונית שלהם, המסומנת $𝐮 \otimes 𝐯$ , היא מטריצה $𝐀$ מסדר $m \times n$ המתקבלת מהכפלת כל איבר של $𝐮$ בכל איבר של $𝐯$ :^[1]

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐀 = [\begin{matrix} u_{1} v_{1} & u_{1} v_{2} & \dots & u_{1} v_{n} \\ u_{2} v_{1} & u_{2} v_{2} & \dots & u_{2} v_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ u_{m} v_{1} & u_{m} v_{2} & \dots & u_{m} v_{n} \end{matrix}]

או, בסימון אינדקסי:

(𝐮 \otimes 𝐯)_{i j} = u_{i} v_{j}

אם נתון וקטור $𝐰$ שממדיו הם $n \times 1$ , אז $(𝐮 \otimes 𝐯) 𝐰 = (𝐯 \cdot 𝐰) 𝐮$ . אם נתון וקטור $𝐱$ שממדיו הם $1 \times m$ , אז $𝐱 (𝐮 \otimes 𝐯) = (𝐱 \cdot 𝐮) 𝐯^{T}$ . " $\cdot$ " מסמנת מכפלה סקלרית.

אִם $𝐮$ ו־ $𝐯$ הם וקטורים מממד זהה, גדול מ-1, אז $\det (𝐮 \otimes 𝐯) = 0$ .

המכפלה החיצונית $𝐮 \otimes 𝐯$ שוות ערך לכפל המטריצות $𝐮 𝐯^{T}$ , בתנאי שהווקטור $𝐮$ מיוצג כווקטור עמודה בגודל $m \times 1$ והווקטור $𝐯$ כווקטור עמודה בגודל $n \times 1$ (כלומר $𝐯^{T}$ הוא וקטור שורה).^[2]^[3] לדוגמה, אם $m = 4$ ו־ $n = 3$ , אז^[4]:

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐮 𝐯^{T} = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1} v_{1} & u_{1} v_{2} & u_{1} v_{3} \\ u_{2} v_{1} & u_{2} v_{2} & u_{2} v_{3} \\ u_{3} v_{1} & u_{3} v_{2} & u_{3} v_{3} \\ u_{4} v_{1} & u_{4} v_{2} & u_{4} v_{3} \end{matrix}]

.

עבור וקטורים מרוכבים, לעיתים קרובות שימושי לקחת את המטריצה הצמודה של $𝐯$ , המסומנת $𝐯^{†}$ אוֹ ${(𝐯^{T})}^{*}$ :

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐮 𝐯^{†} = 𝐮 {(𝐯^{T})}^{*}

.

תכונות

מכפלה חיצונית של וקטורים מקיימת את התכונות הבאות:

\begin{aligned} (𝐮 \otimes 𝐯)^{T} & = (𝐯 \otimes 𝐮) \\ (𝐯 + 𝐰) \otimes 𝐮 & = 𝐯 \otimes 𝐮 + 𝐰 \otimes 𝐮 \\ 𝐮 \otimes (𝐯 + 𝐰) & = 𝐮 \otimes 𝐯 + 𝐮 \otimes 𝐰 \\ c (𝐯 \otimes 𝐮) & = (c 𝐯) \otimes 𝐮 = 𝐯 \otimes (c 𝐮) \end{aligned}

מכפלה חיצונית של טנזורים מקיימת את תכונת האסוציאטיביות הנוספת:

(𝐮 \otimes 𝐯) \otimes 𝐰 = 𝐮 \otimes (𝐯 \otimes 𝐰)

דרגה של מכפלה חיצונית

אם הווקטורים $𝐮$ ו־ $𝐯$ שונים מאפס, אז מטריצת המכפלה החיצונית $𝐮 𝐯^{T}$ תמיד תהיה מדרגה 1. ואכן, כל העמודות של המכפלה החיצונית פרופורציונליות ל־ $𝐮$ . לכן כולן תלויות ליניארית בעמודה זו, ולכן המטריצה היא מדרגה 1.

אין לבלבל בין דרגה של מטריצה לבין סדר או דרגה של טנזורים.

יישומים

מכיוון שהמכפלה החיצונית קשורה קשר הדוק למכפלת קרונקר, חלק מהיישומים של מכפלת קרונקר משתמשים במכפלות חיצוניות. יישומים אלה נמצאים במכניקת הקוונטים, עיבוד אותות ודחיסת תמונה.^[5]

ראו גם

לקריאה נוספת

Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). "Outer Products and Orthogonal Projections". Linear Algebra: From the Beginning. Macmillan. pp. 217–218. ISBN 9780716748946.

הערות שוליים

↑ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Keller, Frank (23 בפברואר 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. ארכיון (PDF) מ-2017-12-15. נבדק ב-6 בספטמבר 2020. {{cite web}}: (עזרה)
↑ James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press מסת"ב 0-306-42433-9
↑ Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Applications (Chapter 3)". Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra (2 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מכפלה חיצונית41899371Q1268589

[1] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.

[2] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.

[3] Keller, Frank (23 בפברואר 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. ארכיון (PDF) מ-2017-12-15. נבדק ב-6 בספטמבר 2020. {{cite web}}: (עזרה)

[4] James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press מסת"ב 0-306-42433-9

[5] Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Applications (Chapter 3)". Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra (2 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]