מטריצה צמודה

באלגברה לינארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת A היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-i ובעמודה ה-j של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר, עבור מטריצה $\mathbf {A}$ המטריצה הצמודה $\mathbf {A} ^{*}$ מקיימת:

$(\mathbf {A} ^{*})_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$

ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.

תכונות

• $(T^{*})^{*}=T$
• אדיטיביות - $(T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}$ ׁ
• $(\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}$
• $(T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}$ (ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
• $(TS)^{*}=S^{*}T^{*}$

דוגמאות

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1+i&2\\3i&4i\end{bmatrix}}^{\mathrm {*} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1-i&-3i\\2&-4i\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

ראו גם

• אופרטור צמוד - העתקה לינארית אנלוגית