שדה המספרים המרוכבים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף צמוד מרוכב)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה כאשר a,b הם ממשיים, ו- היא היחידה המרוכבת, המקיימת . המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.

שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות , מכיל את שדה המספרים הממשיים - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, איזומורפי לחוג המנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}[x]/\left(x^2+1\right)} .

שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} יש בדיוק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.

היסטוריה

יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

בנייה פורמלית

את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף הזוגות הסדורים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^2} של מספרים ממשיים, עם פעולות החיבור והכפל המוגדרות לפי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)} ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)} . המבנה המתקבל הוא שדה, שאיבר האפס שלו הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (0,0)} , ואיבר היחידה הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1,0)} . לכל מספר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)} יש נגדי, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-x,-y)} , ואם המספר שונה מאפס יש לו איבר הופכי, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)} .
הזוגות מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,0)} מקיימים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)} ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)} , ולכן ההתאמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\mapsto (x,0)} מהווה שיכון של שדה הממשיים בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i = (0,1)} של השדה החדש מקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1} , כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון זרם, משתמשים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ j} כתחליף).

תכונות בסיסיות של השדה המרוכב

כל איבר בשדה החדש אפשר להציג באופן יחיד בצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x+iy} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x,y\in \mathbb{R}} ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{Re}, \mathrm{Im} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}} מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.

ההצגה של מספר מרוכב בצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z = x+iy} , הנקראת ההצגה הקרטזית, מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^2=-1} : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) } .

הנורמה הסטנדרטית של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי , מגדירה גם את הערך המוחלט של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}} . פונקציה זו, המהווה מטריקה ארכימדית על השדה, הופכת אותו למרחב נורמי שלם מעל שדה המספרים הממשיים.

הצגת הצמוד המרוכב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline z } של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z} במישור המרוכב.

על המספרים המרוכבים מוגדר הצמוד המרוכב, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{x+yi} = x-yi} , שהוא אינוולוציה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}}הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\ } ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\ \overline{\overline{z}} = z}

פעולת ההצמדה היא אוטומורפיזם מסדר 2 של ההרחבה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}/\mathbb{R}} , היוצר את חבורת גלואה של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט אי-שוויון המשולש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left| z+w \right| \le \left| z\right|+\left|w \right|} , הופכות את המרוכבים לאלגברה כוכב (*-אלגברה).

הנורמה המרוכבת היא שורש ריבועי של הנורמה האלגברית, המוגדרת לפי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(z) = z \cdot \bar{z}} , כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(x+yi) = (x+yi)(x-yi) = x^2+y^2} . הנורמה כפלית (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|} ), ושומרת על הצמוד: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\bar{z}|=|z|} .

העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: , ובמכנה של השבר הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2}} .

הצגה קוטבית והמישור המרוכב

אפשר להתאים את המספר המרוכב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x+yi} לקואורדינטה הקרטזית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)} במישור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^2} . את המישור אפשר לתאר גם באמצעות קואורדינטות פולריות, הכוללות, עבור כל נקודה, את המרחק שלה מראשית הצירים ואת הזווית בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} . הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ משפט פיתגורס), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית הטנגנס: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\theta) = \frac{y}{x}} עבור מספרים מרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{Re}(z) > 0} ), ואילו עבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי (הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \mathrm {Re} (z)<0} ) הזווית תהיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi - \arctan\left(\frac{y}{x}\right)} (שכן לפונקציית tan יש מחזור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} ).

עבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי הארגומנט יהיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi:2} ועבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי הארגומנט יהיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -(\pi:2)} .

עבור 0 הזווית אינה מוגדרת (או לחלופין כל זווית היא לגיטימית).

לזווית נקרא ארגומנט של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כך שהפרשן של שתי הזוויות הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\pi} גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב כאשר מדברים על הארגומנט של מספר מרוכב לבחור את הזווית ששייכת לקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-\pi,\pi]} .

על כן, ההצגה הפולרית של מספר מרוכב z, היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z=r\cos\theta + i r\sin\theta} , כאשר r הוא המרחק מהראשית, ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta} הזווית ש-z יוצר עם ציר ה-x.

בדרך-כלל משתמשים בקיצור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta} . קיצור מקובל נוסף הוא

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i\theta}=\operatorname{cis}\theta = \cos \theta + i \sin \theta} ,

שנובע מתכונות פונקציית האקספוננט עבור ערכים מרוכבים.

  • משפט דה מואבר: לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb {N}} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)} .
  • נוסחת אוילר: לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta\in\mathbb {R} } מתקיים: . מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
    • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}
    • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}

ראו גם