משוואת ליין-אמדן

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
פתרונות נומריים של משוואת ליין-אמדן עבור n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

באסטרופיזיקה, משוואת ליין-אמדןאנגלית: Lane-Emden equation) היא סוג של משוואת פואסון עבור הפוטנציאל הכבידתי של זורם (בדרך כלל גז) פוליטרופי המצוי בשיווי משקל הידרוסטטי במערכת בעלת כבידה עצמית המפוזרת בצורה כדורית סימטרית, בדרך כלל כוכב. היא נקראת על שם האסטרופיזיקאים ג'ונתן הומר ליין ורוברט אמדן.

המשוואה מתארת את פרופיל הצפיפות (ובזכות המשוואה הפוליטרופית, גם את הלחץ) כתלות ברדיוס. המשוואה עצמה היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + \theta^n = 0 }

כאשר זטא מוגדרת על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{r}{a} }

והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הרדיוס, ותטא מוגדרת על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho = \rho_c \theta^n \,}

והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הצפיפות, כאשר האינדקס c מציין שהצפיפות (והלחץ) נמדדים במרכז הכוכב.

החזקה n היא האינדקס הפוליטרופי של משוואת המצב הפוליטרופית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\, }

פיזיקלית, שיווי משקל הידרוסטטי מקשר את גרדיאנט הפוטנציאל, את הצפיפות ואת גרדיאנט הלחץ, בעוד שמשוואת פואסון מקשרת את הפוטנציאל עם הצפיפות. ממשוואה זו עולה שמספיק לדעת את הקשר בין הלחץ והצפיפות כדי להגיע לפתרון ולהסיק משהו לגבי מבנה הכוכב. הבחירה הספציפית במודל פוליטרופי של הגז הופכת את הניסוח המתמטי של הבעיה לממצה, דבר שמוביל למשוואת ליין-אמדן. זהו פתרון "מסדר אפס" עבור כדורים גזיים בעלי כבידה עצמית, כגון כוכבים. במקרים מסוימים זהו קירוב שימושי, אך בדרך כלל בעל הנחות מגבילות למדי.

את המשוואה ניתן לפתור אנליטית רק כאשר האינדקס הפוליטרופי n שווה ל-0, 1 או 5. במקרים אחרים (כגון במקרים הפיזיקליים) יש לפתור את המשוואה נומרית.

n = 0 1 5
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta } = הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - \frac {\zeta^2}{6} } הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sin\zeta}{\zeta} } הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1+ \frac{\zeta^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} }
ζ1 = הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 6 } הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi }

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_1} מייצג את רדיוס הכוכב חסר הממדים המנורמל ב-a. עבור n=1 הפתרון הוא פונקציית sinc שכן המשוואה הופכת למשוואת בסל כדורית.


קישורים חיצוניים