משפט בורסוק-אולם

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, משפט בורסוק-אוּלַם הוא משפט מתמטי הקובע שכל פונקציה רציפה מהספירה ה-n ממדית למרחב האוקלידי ה-n ממדי מעתיקה שתי נקודות אנטיפודיות כלשהן לאותה נקודה. למשפט אינספור שימושים בטופולוגיה וגם בתחומים שנדמים לא קשורים, כגון בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.

הוכחה ראשונה של המשפט פורסמה ב-1933 על ידי המתמטיקאי הפולני קרול בורסוק. במאמרו ציין בורסוק שסטניסלב אולם שיער את המשפט.

הדגמה והמחשה

ישנן שתי דרכים נפוצות להמחיש את המשפט במקרה הדו-ממדי (n=2). דרך אחת היא לקחת כדור ים, להוציא ממנו את האוויר, למעוכו, לעוותו ולשטחו על הרצפה. משפט בורסוק-אולם קובע שהיו שתי נקודות מנוגדות זו לזו (אנטיפודיות) על הכדור המנופח שכעת נמצאות זו על גבי זו על הרצפה. דרך שנייה להמחיש את המשפט היא לומר שבכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. זאת בהנחה שטמפרטורה ולחץ אוויר משתנים באופן רציף על פני הכדור.

קל להשתכנע בנכונות המקרה האפס-ממדי והמקרה החד-ממדי. במקרה האפס-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה מהקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{-1,1\}} לקבוצה מעבירה נקודות אנטיפודיות לאותה נקודה. במקרה הזה זה נכון באופן טריוויאלי גם ללא דרישת הרציפות. במקרה החד-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה ממעגל (שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהוא מעגל היחידה) לישר הממשי מעתיקה זוג נקודות אנטיפודיות לאותו מספר. אם נניח בשלילה ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה רציפה שסותרת את המשפט, אז לכל זוג נקודות אנטיפודיות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,-x} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)-f(-x)\ne 0} . לכן הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}} רציפה. אולם פונקציה זו יכולה לקבל רק את הערכים והיא מקבלת את שניהם בכל זוגות נקודות אנטיפודיות (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(-x)=-g(x)} ), בסתירה למשפט ערך הביניים.

גרסאות המשפט

סימונים והגדרות:

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} - המרחב האוקלידי ה-n-ממדי
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} - ספירת היחידה ה-n ממדית:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n=\{(x_0,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_0^2+\ldots+x_n^2=1\}}
  • האנטיפוד לנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=(x_0,\ldots,x_n)\in S^n} הוא:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x = (-x_0,\ldots,-x_n)}
  • פונקציה מהספירה למרחב היא פונקציה אנטיפודית אם היא רציפה ולכל מתקיים: .
  • - כדור היחידה הסגור ה-n ממדי:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n \mid x_1^2+\ldots+x_n^2\le 1\}}

שפת הכדור היא הספירה ממד אחד פחות: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial B^n = S^{n-1}} .

למשפט בורסוק-אולם גרסאות רבות שכולן נכונות וכולן שקולות זו לזו. נביא כמה מהן:

  1. לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to \mathbb{R}^n} רציפה קיימת נקודה כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=f(-x)} .
  2. לכל אנטיפודית (ראו מסגרת בצד שמאל) קיימת נקודה כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0} .
  3. לא קיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to S^{n-1}} אנטיפודית.
  4. לא קיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: B^n\to S^{n-1}} אנטיפודית על השפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1} = \partial B^n} .
  5. משפט לוסטרניק-שנירלמן: כל כיסוי של באמצעות n+1 קבוצות שכל אחת מהן פתוחה או סגורה מכיל קבוצה אחת שיש בה זוג נקודות אנטיפודיות.

נוכיח כי כל הגרסאות שקולות:

  • (1) גורר את (2): תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to \mathbb{R}^n} פונקציה אנטיפודית. לפי (1) והאנטיפודיות קיימת נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in S^n} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)} , ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0} .
  • (2) גורר את (1): תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to \mathbb{R}^n} פונקציה רציפה. נגדיר . זוהי פונקציה אנטיפודית ולכן לפי (2) קיימת נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in S^n} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=0} , כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=f(-x)} .
  • (2) גורר את (3): הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1} \subseteq \mathbb{R}^n} , ולכן אם קיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to S^{n-1}} אנטיפודית, אז היא בפרט פונקציה אנטיפודית שאינה מתאפסת, בסתירה ל-(2).
  • (3) גורר את (2): נניח בשלילה ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to \mathbb{R}^n} אנטיפודית ולא מתאפסת. אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=f(x)/\|f(x)\|} סותרת את (3).
  • (3) גורר את (4): הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x_0,\ldots,x_n) = (x,_1,\ldots,x_n)} היא הומאומורפיזם של ההמיספרה הימנית של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} על הכדור ("שיטוח" של ההמיספרה על מישור). נניח בשלילה ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מקיימת את (4). נגדיר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g: S^n \to S^{n-1}} כך: בהמיספרה הימנית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=f(h(x))} ובהמיספרה השמאלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=-f(h(-x))} . הפונקציה מוגדרת היטב בחיתוך בין ההמיספרות ("קו המשווה") כי זהו שפת שם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אנטיפודית. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} סותרת את (3).
  • (4) גורר את (3): נניח בשלילה ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מקיימת את (3). אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=f(h^{-1}(x))} סותרת את (4).

הוכחות

ידועות הוכחות רבות למשפט בורסוק-אולם. ההוכחה הסטנדרטית עושה שימוש בהומולוגיה. ידועות גם הוכחות קומבינטוריות, למשל באמצעות הלמה של טאקר השקולה למשפט בורסוק-אולם.

סקיצה של הוכחה הומולוגית

נתאר כאן גישה הומולוגית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (3) שלו). נניח בשלילה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:S^n \to S^{n-1}} העתקה אנטיפודית. אם מזהים את המרחב הפרויקטיבי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{RP}^n} כמרחב מנה של הספירה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} על ידי זיהוי נקודות אנטיפודליות, זיהוי זה משרה העתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{f}: \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}} . ניתן להראות כי ההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{f}} בתורה משרה איזומורפיזם של החבורות היסודיות המתאימות. ההומומורפיזם הוא זה המושרה מפנקטור החבורה היסודית, וניתן להראות כי הוא איזומורפיזם על ידי שימוש בכך שהחבורה היסודית של המרחב הפרויקטיבי נוצרת על ידי איבר יחיד, והעתקה זו מעבירה יוצר ליוצר.

עבור המקרה ההוכחה מסתיימת כאן, כי ידוע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1\left(\mathbb{RP}^2\right) \cong \mathbb{Z}/2 \neq \mathbb{Z} \cong \pi_1\left(\mathbb{RP}^1\right)} ולכן מתקבלת סתירה. עבור , ניתן להראות כי מושרה איזומורפיזם על חוגי הקוהומולוגיות של המרחבים הפרויקטיביים המתאימים. הסתירה מתקבלת על ידי שימוש בעובדה הלא-טריוויאלית כי המבנה החוגי של הקוהומולוגיה במקדמים מהשדה בעל שני האיברים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}_2} של המרחב הפרויקטיבי, הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^*\left( \mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2 \right) \cong \mathbb{F}_2\left[x\right]/x^n} .

סקיצה של הוכחה גאומטרית

נתאר כאן גישה גאומטרית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (2) שלו). תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n \to \mathbb{R}^n} פונקציה אנטיפודית. תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g: S^n \to \mathbb{R}^n} ההטלה צפון-דרום המוגדרת לפי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle g(x_{0},\ldots ,x_{n})=(x_{0},\ldots ,x_{n-1})} . נסתכל על המרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = S^n\times [0,1]} - פני השטח של "גליל" שבסיסו הספירה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} (גאומטרית, הוא משוכן במרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+2}} ). נגדיר פונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F: X \to \mathbb{R}^n} לפי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)} . על בסיס הגליל . ככל שעולים במעלה הגליל F משתנה באופן לינארי מ-f ל-g עד שבסיס העליון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,1) = g(x)} . מכיוון ש-f ו-g אנטיפודיות F מקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(-x,t) = -F(x,t)} (כלומר היא אנטיפודית על כל חתך שמקביל לבסיס).

נניח בשלילה ש-f לא מתאפסת. נחקור את הקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^{-1}(0)} המורכבת מכל הנקודות ב-X שעוברות ל-0. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מתנהגת "נחמד" מספיק, מצופה שהקבוצה הזו תורכב מעקומות (יריעות חד-ממדיות) המטיילות על פני הגליל (האפסים של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,t)} מתווים קו רציף כש-t משתנה). העקומות הללו צריכות להיסגר על עצמן או שנקודות הקצה שלהן נמצאות על הבסיסים. ל- יש שני אפסים בדיוק: הקוטב הצפוני והדרומי: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,\ldots,\pm 1)} . ל-f אין אפסים כלל. לכן העקומה שיוצאת מהקוטב הצפוני של הבסיס העליון (שחייבת להסתיים בנקודת קצה אחרת על בסיס) חייבת להסתיים בקוטב הדרומי של הבסיס העליון. אולם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^{-1}(0)} היא קבוצה סימטרית תחת אנטיפודיות (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,t)\in F^{-1}(0)} אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-x,t)\in F^{-1}(0)} ), ולכן העקומה שמטיילת מהקוטב הצפוני לדרומי עושה זאת באופן סימטרי על פני הגליל, מה שבבירור לא ייתכן.

כדי להשלים את ההוכחה לטיעון ריגורוזי יש להראות שכל פונקציה f ניתן לשנות קצת באופן שיהפוך אותה ל"נחמדה" בלי לייצר אפסים חדשים.

שימושים

הוכחה של משפט נקודת השבת של בראואר: אם ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לא הייתה נקודת שבת הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} הייתה מוגדרת היטב וסותרת את משפט בורסוק-אולם.

מסקנה מיידית מהמשפט היא שהספירה ה-n-ממדית אינה הומאומרפית לתת-מרחב של המרחב האוקלידי ה-n ממדי.

משפט נקודת השבת של בראואר, הקובע שלכל פונקציה רציפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: B^n \to B^n} יש נקודת שבת, נובע בקלות ממשפט בורסוק-אולם. נניח בשלילה של-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אין נקודת שבת. אז לכל הקרן היוצאת מ-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} לכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מוגדרת היטב. נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)} את הנקודה על שפת הכדור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1} = \partial B^n} דרכה עוברת הקרן. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F: B^n \to S^{n-1}} היא העתקה רציפה ששומרת על איברי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial B^n} במקומם (רטרקט) ובפרט אנטיפודית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial B^n} , בסתירה לגרסה (4) של משפט בורסוק-אולם.

משפט נוסף הנובע ממשפט בורסוק-אולם הוא משפט הכריך (Ham sandwich theorem) הקובע כי ניתן לחצות n מסות במרחב ה-n ממדי לשני חצאים שווי מסה באמצעות על-מישור יחיד. משפט זה מאפשר לפתור את בעיית חלוקת השרשרת בקומבינטוריקה.

ב-1978 הוכיח לסלו לובאס את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם. הוכחה מפתיעה זו נחשבת להולדתו של תחום הקומבינטוריקה טופולוגית שמנצל כלים טופולוגיים לפתרון בעיות קומבינטוריות.

לקריאה נוספת