משפט ברי-אסן

בתורת ההסתברות, משפט ברי-אסן (Barry-Esseen) נותן הערכה כמותית לקצב ההתכנסות במשפט הגבול המרכזי. המשפט חוסם, בתנאים מסוימים, את המרחק, בנורמת קולמוגורוב-סמירנוף, בין התפלגות ממוצע הדגימות של משתנה מקרי להתפלגות הנורמלית.

המשפט הוכח תחילה על ידי אנדרו ברי (1941) ולאחר מכן על ידי קרל-גוסטב אסן (1942).

ניסוח המשפט

קיים קבוע חיובי C כך שאם $X_{1},\ldots X_{n}$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות שמקיימים $E(X_{1})=0,E(X_{1}^{2})=\sigma ^{2}>0,E(|X_{1}|^{3})=\rho <\infty$ אז אם

$Y_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over n}$

ונסמן את פונקציית הצטברות של ${Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }}$ ב $F_{n}$

ואת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הנורמאלית הסטנדרטית ב $\Phi$

אז לכל $x$ ו $n$

$\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}}$

בנוסף, C חסום על ידי: $0.4748>C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973$

הערה: למשפט קיימת גם גרסה עבור משתנים מקריים שאינם שווי התפלגות.

לקריאה נוספת

• Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". Transactions of the American Mathematical Society. 49 (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053.
• Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". Arkiv för matematik, astronomi och fysik. A28: 1–19. ISSN 0365-4133.
• Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0