משפט גאוס-לוקאס

באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס, חוסם את שורשי הנגזרת $P^{\prime }$ של פולינום P במונחי השורשים של P עצמו. קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב. המשפט קובע כי כל השורשים של $P^{\prime }$ נמצאים בתוך הקמור של השורשים של P, כלומר בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את השורשים של P. המשפט, הקרוי על שמם של קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס, דומה ברוחו למשפט רול.

היסטוריה

בין המסמכים שהותיר מאחוריו קרל פרידריך גאוס (1777 - 1855) נמצאה מחברת אשר הוא החל לכתוב בספטמבר 1813. בעמוד 76 במחברת הוא כתב את הטענה שנודעה כמשפט גאוס-לוקאס. מספר מכתבים שלו שנשלחו לשומאכר מעידים שהוא חשב על המשפט לראשונה ביוני 1836 ושהוא הכיר היטב את ההשלכות הנובעות ממנו. מאוחר יותר, פליקס לוקאס ניסח משפט דומה, אם כי בגרסה מעט חלשה יותר, במאמר מ-1868. המשפט נתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי Legebeke ב-1882, בעזרת שיקולים גאומטריים.

ניסוח

אם P הוא פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של $P^{\prime }$ נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P (במישור המרוכב).

מקרים פרטיים

קל לראות שאם $P(x)=a{x}^2+bx+c$ הוא פולינום ממעלה שנייה, השורש של $P^{\prime }(x)=2ax+b$ הוא הממוצע החשבוני של השורשים של P. במקרה זה, הקמור הוא הקטע הישר ששני השורשים של P הם קצותיו, וברור שהממוצע של שני השורשים הוא אמצעו של הקטע הזה.

במקרה של פולינום ממעלה שלישית P (פולינום מעוקב) עם שלושה שורשים שונים, משפט מרדן קובע שהשורשים של 'P הם נקודות המוקד של אליפסת שטיינר , שהיא האליפסה היחידה המשיקה לצלעות המשולש ששורשי P הם קודקודיו, בנקודות האמצע שלהן.

אם לפולינום ממעלה n עם מקדמים ממשיים יש n שורשים ממשיים שונים $x_1<x_2<\cdots <x_n,$ אז ניתן לראות, דרך משפט רול, ששורשיו של פולינום הנגזרת מצויים כולם באינטרוול $[x_1,x_n]$, שהוא הקמור של שורשי הפולינום המקורי.

הוכחה

מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-P קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: $P(z)=\alpha \prod _{i=1}^n(z-a_i)$, כאשר המספרים $a_1,a_2,\dots ,a_n$ הם השורשים של P.

יהי Z מספר מרוכב עבורו $P(z)\ne 0$. נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל: $\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}.$. באופן ספציפי, אם Z הוא שורש של $P^{\prime }$ ועדיין $P(z)\ne 0$, אז: $\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}=0.$ או: $\sum _{i=1}^n\frac{\bar{z}-\overline{a_i}}{|z-a_i{|}^2}=0.$. הביטוי האחרון יכול להיכתב גם כ-: $\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\right)\bar{z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\overline{a_i}.$ . ניתן לראות כי Z הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים $a_i$ ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P, מש"ל.

מקורות

• עמודים 91-92 ,Analytic Theory of Polynomials

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט גאוס-לוקאס בוויקישיתוף

• משפט גאוס-לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט גאוס-לוקאס40638673Q1008566