המשפט היסודי של האלגברה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0.

באפן שקול, המשפט אומר ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית (שכן זאת ההגדרה של שדה סגור אלגברית). לסגירות אלגברית יש מספר הגדרות שקולות שתקפות למספרים מרוכבים, למשל:

  • אם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אזי לכל פולינום ממעלה יש בדיוק שורשים מרוכבים.
  • כל פולינום אי-פריק מעל המרוכבים הוא ממעלה אחת.
  • כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלת גורמים לינאריים.

לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה אלגברית שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהוא בה.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום שורש, קל להוכיח שהפונקציה היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה.

הוכחה סטנדרטית שנייה באמצעות תורת גלואה, מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום יש שורש.

מסקנה מהמשפט

מסקנה חשובה מאד של המשפט היא מיון פולינומים אי־פריקים מעל הממשיים. יהי פולינום בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי־פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים לינאריים מעל המרוכבים:

אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של , גם הצמוד של המספר הזה הוא שורש מרוכב של . לכן, ניתן לכתוב מחדש כאשר שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אז בבירור לינארי כי הוא אי־פריק) ועתה ניתן להסתכל על כמכפלה של פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי־פריקות מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:

כדי ש־ יהיה פולינום אי־פריק מעל הממשיים, הוא מוכרח להיות לינארי או ריבועי.

מסקנה נוספת היא שכל פולינום מרוכב (שאינו קבוע) מקבל כל ערך אפשרי, שכן הוא גם פולינום, כלומר הוא מתאפס.

הוכחות למשפט היסודי

באמצעות משפט ליוביל

עבור פולינום ניתן . אם נסתכל על הפונקציה , גבולה באינסוף הוא 0 ומהיותה פונקציה שלמה נובע כי היא חסומה. ממשפט ליוביל נובע כי היא קבועה וכך גם הפולינום.

הוכחה באמצעות עקרון המינימום

עקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום האומר כי עבור פונקציה הולומורפית לא קבועה כאשר קבוצה פתוחה וקשירה, קיים ל־ מינימום מקומי ב־ רק על השפה . ההוכחה של עקרון המינימום היא להניח בשלילה אחרת, ולהסתכל על הפונקציה המקבלת מקסימום מקומי ב־, דבר הנוגד את עקרון המקסימום. פולינום הוא פונקציה כזו על כל , ומתקיים שעבור פולינום ולכן ניתן למצוא מינימום מוחלט לפונקציה (קיים מינימום מקומי בקבוצה סגורה גדולה מספיק, כך שמחוץ לה הוא גדול מדי). מעקרון המינימום נובע כי המינימום המוחלט הוא 0.

באמצעות תורת גלואה

הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי־פריק ממעלה אי־זוגית מוכרח להיות לינארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי . מכיוון שגם ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין 0 היא ספרבילית, נובע כי היא הרחבת גלואה.

תהי חבורת גלואה של ההרחבה . תהי חבורת 2־סילו של . האינדקס של ב־ הוא אי־זוגי. לכן הממד של שדה השבת מעל הוא אי־זוגי, אך אז הפולינום המינימלי של כל אבר הוא לינארי, כלומר . מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע כי , כלומר היא חבורת־2, כלומר הסדר שלה הוא חזקת 2. לכן קיימת לה תת־חבורה מאינדקס . שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים עבורה . אך כל פולינום ממעלה 2 מעל מתפרק לגורמים לינאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה-מואבר. מכאן והממד של מעל הממשיים הוא 2, כלומר .

באמצעות טופולוגיה אלגברית

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת . נשתמש בסימון למסילה שמקיפה את המעגל פעמים (כשהסימן של הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי פולינום מדרגה . נוכל להניח בלי הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום . נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח שנובע .

לכל נגדיר מסילה . קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה () עם נקודות קצה .
עבור , מתקיים , ולכן .
בנוסף, ברור כי לכל המסילות ו- הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ), ומכאן .

נקבע גדול יותר מ- וגדול יותר מ-. כעת, לכל כך ש- מתקיים:

כלומר .
מכאן שלכל לפולינום אין שורשים המקיימים .

לכל נגדיר .
עבור מקבלים ולכן , פירוש הדבר .
עבור מקבלים ולכן .
כמקודם, מתקיים שהמסילות הומוטופית (בעזרת ההומוטופיה ).

לסיכום, , ולכן , ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם , כנדרש.


קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0