משפט דה מואבר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי ולכל מספר שלם מתקיים

כאשר: הרכיב הממשי במספר מרוכב , הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבות משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן מעשי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה מן הזהות

השקולה לזהויות הטריגונומטריות

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים כפולינומים ב- בהתאמה.

כך למשל, – ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר קרוב של אייזק ניוטון. בשנת 1698 כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר של מספר מרוכב כלשהו.

אם מספר מרוכב אשר , אזי ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה , כאשר .

המספר הוא שורש מסדר של אם , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,

זה קורה בדיוק כאשר:

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר והפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור  :

כאשר , ואלו בדיוק השורשים של .

ראו גם

קישורים חיצוניים

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0