משפט הערך הממוצע של גאוס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט הערך הממוצע של גאוס הוא שמם של שני משפטים דומים:

הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות.

מהמשפט נובע עקרון המקסימום.

פונקציות הולומורפיות

תהי f פונקציה הולומורפית, ויהי r0 כך שהעיגול ברדיוס r סביב נקודה z0 מוכל בתחום של f . אזי:

f(z0)=12π02πf(z0+reθi)dθ

הוכחה

יהי C={z:|zz0|=r} . לפי נוסחת האינטגרל של קושי:

f(z0)=12πiCf(z)zz0dz

z0+reiθ,θ[0,2π) היא פרמטריזציה של המעגל C . לכן:

f(z0)=12πi02πf(z0+reθi)reθiireθidθ=12π02πf(z0+reθi)dθ

פונקציות הרמוניות

מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי לפונקציות הרמוניות.

נניח כי u פונקציה הרמונית במרחב פשוט קשר פתוח. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית f על התחום. עבור f מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (מפני שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i):

u(z0)=12π02πu(z0+reiθi)dθ

תכונה זו נקראת תכונת הערך הממוצע לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.

(כאשר u(z)=u(Re(z),Im(z))). להכללה של העקרונות הללו ראו גרעין פואסון.

ראו גם

קישורים חיצוניים

משפט_הערך_הממוצע_של_גאוס18536772Q16129814