נוסחת האינטגרל של קושי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מרוכבת, נוסחת האינטגרל של קושי היא נוסחה מרכזית, המתארת פונקציה הולומורפית בעיגול באמצעות הערכים שהיא מקבלת על שפת העיגול. הנוסחה ניתנת להכללה גם אל הנגזרות של פונקציה כזו.

את נוסחת האינטגרל של קושי מוכיחים באמצעות משפט האינטגרל של קושי. מהוכחת הנוסחה נובע בין היתר כי כל פונקציה הולומורפית היא פונקציה אנליטית – בעלת אינסוף נגזרות וניתנת לפיתוח לטור חזקות. כמו כן נובעים ממנה משפטים חשובים דוגמת משפט ליוביל.

ניסוח פורמלי

תהי קבוצה פתוחה במישור המרוכב, המכילה עיגול . אזי לכל פונקציה שהיא הולומורפית ב־ ולכל בפנים של העיגול

כאשר שפת העיגול ומגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.

ניתן להרחיב את הנוסחה לכל הנגזרות של :

למעשה, על פי משפט האינטגרל של קושי, המשפט תקף לא רק בעבור מעגלים אלא גם בעבור עקומים פשוטים סגורים כלשהם (כאשר הנקודה נמצאת בתוך התחום המוגדר על ידי המסילה). כמו כן, די לדרוש כי הפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום, ורציפה בלבד על השפה.

מנוסחאות אלו ניתן להוכיח את משפט השאריות, המהווה הכללה מרחיקת לכת שלהן.

הוכחה

נוכיח גרסה בסיסית של המשפט, עבור המקרה , שממנה מסיקים את השאר:

מכיוון ש־ הולומורפית, היא בפרט רציפה, כלומר לכל קיים עבורו לכל , וכך שהעיגול הזה מוכל כולו בקבוצה . כעת, לפי משפט אינטגרל קושי אפשר להחליף את העקומה במעגל , שהרי

ראשית נחסום את האינטגרל השמאלי בסכום:

כעת נחשב במדויק את האינטגרל הימני בסכום. תוך כדי כך נחשב גם את כל האינטגרלים הדומים לו, ונשיג תוצאה שימושית גם להוכחת משפט השאריות, שהוא הכללה של נוסחת אינטגרל קושי.

נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל . נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס סביב הנקודה . לכן נשתמש בפרמטריזציה (המשתנה הוא הזווית ). בפרמטריזציה זו, , כלומר קיבלנו .

נקבל את האינטגרל . מכאן נובע .

כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל עבור  :

הראינו כי לכל מתקיים

.

לכן כמבוקש.


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0