עקרון המקסימום
באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם $ \ f $ פונקציה הולומורפית בתחום $ \ D $ וקיים $ \ z\in D $ שהוא מקסימום מקומי של $ \ |f| $ אז $ \ f $ קבועה.
בנוסח שקול, אם $ f $ רציפה בקבוצה קומפקטית $ {\bar {D}} $, והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של $ |f| $ ב-$ {\bar {D}} $ מתקבל על השפה $ \partial {\bar {D}} $.
הוכחה
יהי $ z_{0}\in D $ מקסימום מקומי של $ |f| $. משמע קיים $ 0<R $ קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס $ R $ סביב $ z_{0} $, $ f $ הולומורפית ו-$ z_{0} $ מקסימום מוחלט של $ |f| $. יהי $ 0\leq r<R $. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:
- $ f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{f(z_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta $
לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:
- $ |f(z_{0})|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta \leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0})|}\,d\theta =|f(z_{0})| $
זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:
- $ (*)\ \ \int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0})|}\,d\theta $
נגדיר $ g(x)=\int _{0}^{x}{|f(z_{0})|-|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta $ בקטע $ [0,2\pi ] $. $ g $ עולה חלש, שכן מהמקסימליות של $ |f(z_{0})| $:
- $ g'(\theta )=|f(z_{0})|-|f(z_{0}+re^{i\theta })|\geq 0 $
אולם מ-$ (*) $ נובע ש-$ g(0)=g(2\pi )=0 $, ולכן $ g(x)=0 $ לכל $ x\in [0,2\pi ] $. מכאן ש-$ g'(\theta )=0 $ לכל $ x\in [0,2\pi ] $, כלומר:
- $ |f(z_{0}+re^{i\theta })|=|f(z_{0})| $
קיבלנו ש-$ |f| $ קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם $ f $ קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש-$ f $ קבועה בכל התחום.
עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית
ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה $ u(x,y)=x $ עם $ \{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\} $ שווה זהותית לאפס על $ \{0\}\times (0,1) $ אך איננה קבועה).
ראשית ננסח גרסה נקודתית:
משפט - אם $ u $ פונקציה הרמונית בתחום $ \Omega $, ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה $ z_{0}\in \Omega $, אז היא קבועה בסביבת $ z_{0} $.
הגרסה הכללית היא:
משפט - אם $ u $ הרמונית בתחום חסום $ \Omega $, ורציפה בשפה $ \partial \Omega $, אז אם קיימת $ z_{0}\in \Omega $ כזו ש-$ \max _{z\in {\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z_{0}) $ אז היא קבועה ב-$ \Omega $.
במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.
למשל, אם $ f $ פונקציה שלמה ומתקיים $ \forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R} $, אז $ f $ קבועה, משום שמתקיים $ \forall |z|=1:Im(f(z))=0 $ ולפי עקרון המקסימום $ \forall |z|\leq 1:Imf(z)=0 $, ואז הפונקציה $ e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\} $ איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם $ f $ קבועה.
קישורים חיצוניים
- עקרון המקסימום, באתר MathWorld (באנגלית)
עקרון המקסימום23771487Q1050230