עקרון המקסימום

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
הגרף של בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם פונקציה הולומורפית בתחום וקיים שהוא מקסימום מקומי של אז קבועה.

בנוסח שקול, אם רציפה בקבוצה קומפקטית והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של ב־ מתקבל על השפה .

הוכחה

יהי מקסימום מקומי של . כלומר קיים מעגל ברדיוס קטן מספיק שמרכזו כך שבעיגול הולומורפית ו־ מקסימום מוחלט של . יהי . לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

זוהי שרשרת אי־שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל אי־השוויונות הם שוויונות. לכן:

נגדיר בקטע . עולה חלש, שכן מהמקסימליות של :

אולם מ־ נובע כי , ולכן לכל . מכאן לכל , כלומר:

קיבלנו כי קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה עם שווה זהותית לאפס על אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט – אם פונקציה הרמונית בתחום ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה , אז היא קבועה בסביבת .

הגרסה הכללית היא:

משפט – אם הרמונית בתחום חסום ורציפה בשפה , אז אם קיימת עבורה אז היא קבועה ב־.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם פונקציה שלמה ומתקיים , אז קבועה, משום שמתקיים ולפי עקרון המקסימום , ואז הפונקציה איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם קבועה.