משפט סטיוארט

בגאומטריה, משפט סטיוארט הוא משפט המאפשר לחשב את אורכו של צ'ביאן של משולש באמצעות אורכי הצלעות של המשולש והיחס שבו הצ'ביאן חותך את אחת מצלעות אלו.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי הסקוטי מת'יו סטיוארט שפרסם הוכחה של המשפט בשנת 1746.

מבוא ומוטיבציה

צ'ביאן של משולש הוא קטע אשר יוצא מאחד מקודקודי המשולש ופוגש את הצלע הנגדית לקודקוד זה. צ'ביאנים הם בניות חשובות בגאומטריה וניתן להוכיח באמצעותם תכונות גאומטריות חשובות. דוגמאות לצ'ביאנים שימושיים הם התיכון, חוצה הזווית והגובה. משפט התיכון, למשל, הוא תוצאה ישירה של משפט סטיוארט לתיכונים.

ניסוח המשפט

המחשה ויזואלית של משפט סטיוארט

יהי משולש $\mathrm{△}ABC$ ויהי צ'ביאן $AD$ לצלע $BC$.

מסמנים:

$BC=a,AC=b,AB=c,AD=d,BD=n,DC=m$

(נשים לב כי $n+m=a$)

משפט סטיוארט קובע כי:

$n{b}^2+m{c}^2=a(d^2+nm)$

הוכחות

הוכחה טריגונומטרית

ניתן להוכיח את משפט סטיוארט באמצעות כלים טריגונומטריים.

מגדירים את הזווית $\mathrm{\angle }ADC=\theta$. לפי משפט הקוסינוסים במשולש $\mathrm{△}ADC$:

$\cos \theta =\frac{m^2+d^2-b^2}{2dm}$

מן הצד השני, ניתן להפעיל את משפט הקוסינוסים על הזווית $\mathrm{\angle }ADB=180^{\circ }-\theta$ במשולש $\mathrm{△}ADB$ ולקבל:

$-\cos \theta =\cos (180^{\circ }-\theta )=\frac{n^2+d^2-c^2}{2dn}$

משווים את שני הערכים ומקבלים:

$\frac{m^2+d^2-b^2}{2dm}=-\frac{n^2+d^2-c^2}{2dn}$

על ידי הכפלה במכנה משותף ושינוי אגפים מתקבל:

$n{b}^2+m{c}^2=n{m}^2+m{n}^2+n{d}^2+m{d}^2$

את האגף הימני ניתן לפשט ולקבל:

$n{m}^2+m{n}^2+n{d}^2+m{d}^2=(n+m)(d^2+nm)=a(d^2+nm)$

מציבים ומקבלים:

$n{b}^2+m{c}^2=a(d^2+nm)$

כנדרש.

מ.ש.ל.

הוכחה גאומטרית

תרשים המציג כיצד להוכיח את משפט סטיוארט באמצעות משפט תלמי

ניתן להוכיח את משפט סטיוארט גם ללא שימוש בטריגונומטריה על ידי שימוש במשפט תלמי.

חוסמים את המשולש באמצעות מעגל וממשיכים את הצ'ביאן עד שהוא פוגש את המעגל בנקודה $K$.

באמצעות זוויות היקפיות ניתן להוכיח דמיון משולשים $\mathrm{△}KDB\sim \mathrm{△}CDA$ ו-$\mathrm{△}KDC\sim \mathrm{△}BDA$.

מתוך כך מתקבל ש:

$DK=\frac{nm}{d},KC=\frac{cm}{d},KB=\frac{bn}{d}$

מציבים את כל הגדלים הללו במשפט תלמי ומקבלים:

$\begin{array}{r}(d+\frac{nm}{d})a=\frac{bn}{d}\cdot b+\frac{cm}{d}\cdot c\\ (d^2+nm)a=n{b}^2+m{c}^2\end{array}$

וזהו משפט סטיוארט.

מ.ש.ל.

משפט סטיוארט לצ'ביאן חיצוני

המחשה של משפט סטיוארט עבור צ'ביאן חיצוני

משפט סטיוארט מתקיים גם כאשר הצ'ביאן הוא צ'ביאן חיצוני (כלומר, כזה הפוגש את צלע המשולש על המשכה).

אם מסתכלים על משפט סטיוארט לצ'ביאן חיצוני כפי שמופיע באיור לעיל, ניתן להשתמש במשפט סטיוארט לצ'ביאן פנימי עבור הצ'ביאן $AB$ למשולש $\mathrm{△}ADC$ ולקבל:

$n{b}^2+a{d}^2=m(c^2+na)$

מזיזים אגפים ומקבלים:

$-n{b}^2+m{c}^2=a(d^2-nm)$

כלומר, משפט סטיוארט המקורי נשאר זהה כאשר הקטע $n$ מוחלף ב-$-n$.

עולה מכך כי משפט סטיוארט מתקיים תמיד לכל צ'ביאן (פנימי או חיצוני) אם במקום להשתמש בקטעים סטנדרטיים משתמשים בקטעים מכוונים, כאשר כיוון הקטע הוא ביחס לפנים המשולש.

מסקנות

משפט התיכון

ערך מורחב – משפט התיכון

כאמור לעיל, ניתן להוכיח את משפט התיכון כמסקנה ישירה של משפט סטיוארט.

נשים לב שעבור צ'ביאן שהוא תיכון לצלע מתקיים כי $n=m=\frac{a}{2}$. מציבים את הגדלים הללו במשפט סטיוארט ומקבלים:

$\frac{a}{2}\cdot b^2+\frac{a}{2}\cdot c^2=a(d^2+\frac{a^2}{4})$

$b^2+c^2=2d^2+\frac{a^2}{2}$

וזו משפט התיכון.

אורך חוצה זווית

ערך מורחב – חוצה זווית

משפט חוצה הזווית קובע כי חוצה הזווית חוצה את הצלע שמול הקודקוד באותו יחס כמו שתי הצלעות הנוספות במשולש.

בסימונים שבהם השתמשנו עד כה, אם $AD$ הוא חוצה הזווית $\mathrm{\angle }BAC$, אז מתקיים היחס $\frac{n}{m}=\frac{c}{b}$. יחס זה ביחד עם העובדה כי $n+m=a$ מניבים ש:

$n=\frac{ac}{b+c},m=\frac{ab}{b+c}$

מציבים את הגדלים הללו במשפט סטיוארט, ולאחר פעולות אלגבריות מקבלים ש:

$d^2=bc(1-{\left(\frac{a}{b+c}\right)}^2)$

ראו גם

• משפט צ'בה

קישורים חיצוניים

• משפט סטיוארט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט סטיוארט42156872Q739403