צ'ביאן

בגאומטריה, צ'ביאן הוא קטע במשולש היוצא מקודקוד אחד ונפגש עם המשולש בצלע הנגדית לו.^[1] צ'ביאנים מהווים בניות חשובות בגאומטריה וניתן באמצעותם להוכיח תכונות חשובות של צורות גאומטריות שונות.

צ'ביאנים מוכרים הם התיכון, חוצה הזווית והגובה.

הצ'ביאן נקרא על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני צ'בה (Giovanni Ceva) שחי במאות ה-17 וה-18.

הגדרה מתמטית

בהינתן המשולש $△ A B C$ , בוחרים נקודה $D$ על הישר $\overline{B C}$ .

הקטע $A D$ נקרא צ'ביאן לצלע $B C$ .

הנקודה $D$ יכולה להיבחר בתוך הקטע $B C$ או מחוצה לו.

משפטים מרכזיים

משפט סטיוארט

ערך מורחב – משפט סטיוארט

משפט סטיוארט מאפשר לחשב את אורכו של הצ'ביאן באמצעות אורכי צלעות המשולש והיחס שבו הוא מחלק את הצלע שאותה הוא פוגש.

בהינתן המשולש שבהגדרה המתמטית לעיל, מסמנים את אורכי הצלעות:

$B C = a, A C = b, A B = c, A D = d, B D = n, D C = m$

(נשים לב כי $n + m = a$ )

אזי, משפט סטיוארט קובע כי:^[2]

$n b^{2} + m c^{2} = a (d^{2} + n m)$

משפט צ'בה

ערך מורחב – משפט צ'בה

משפט צ'בה (הקרוי גם הוא על שם ג'ובאני צ'בה) קובע באילו יחסים צריכים שלושה צ'ביאנים היוצאים משלושת קוקודי המשולש לחתוך את הצלע שמולם כדי ששלושתם ייפגשו באותה הנקודה.

המשפט קובע שבהינתן המשולש $△ A B C$ ובהינתן הצ'ביאנים $A D$ , $B E$ ו- $C F$ , שלושת הצ'ביאנים ייפגשו בנקודה אחת $O$ אם ורק אם מתקיים היחס:^[3]

$\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1$

צ'ביאנים חשובים

תיכון

ערך מורחב – תיכון (גאומטריה)

התיכון הוא צ'ביאן החותך את הצלע שמולו לשני קטעים שווים. ניתן להוכיח ששני המשולשים הנוצרים על-ידי התיכון הם שווי שטח.

בהינתן הסימונים שבגדרה המתמטית לעיל, אם $A D$ הוא תיכון, אז $B D = D C = \frac{B C}{2}$ . הצבה של גדלים אלו במשפט סטיוארט ומספר צעדים אלגבריים מובילים לתוצאה:

$b^{2} + c^{2} = 2 d^{2} + \frac{a^{2}}{2}$

זהו משפט התיכון.

באמצעות משפט צ'בה ניתן להוכיח כי כל שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז הכובד של המשולש.

חוצה זווית

ערך מורחב – חוצה זווית

חוצה הזווית הוא צ'ביאן החוצה את זווית המשולש בקודקוד שממנו הוא יוצא לשתי זוויות שוות.

משפט חוצה הזווית קובע שהיחס בין שני הקטעים בצלע הנחתכת על-ידי חוצה הזווית נמצאים ביחס זהה ליחס בין שתי הצלעות שאינן נחתכות. במונחים של משפט סטיוארט כפי שהוצגו לעיל, משפט חוצה הזווית קובע כי $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ . הצבה של יחסים אלו ומספר צעדים אלגבריים מובילים לתוצאה:

$d^{2} = b c (1 - {(\frac{a}{b + c})}^{2})$

באמצעות משפט צ'בה ניתן להוכיח כי כל שלושת חוצי הזווית במשולש נחתכים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולש.

גובה

ערך מורחב – גובה (גאומטריה)

גובה היא צ'ביאן אשר מאונך לצלע שאיתה הוא נפגש.

מאחר שהגובה יוצר משולשים ישרי זווית עם צלעות המשולש, מתקבל ממשפט פיתגורס כי:

$B D^{2} + A D^{2} = A B^{2}$

$C D^{2} + A D^{2} = A C^{2}$

הצבה במשפט סטיוארט של יחסים אלו ומספר צעדים אלגבריים מובילים לתוצאה:

$d = \frac{2 \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}}{a}$

כאשר $s : = \frac{a + b + c}{2}$

צ'ביאנים חיצוניים

צ'ביאנים יכולים להתקיים מחוץ למשולש. גם עבור צ'ביאנים אלו מתקיימים משפט צ'בה ומשפט סטיוארט, אך כדי לשמר אותם יש להשתמש בקטעים מכוונים.

למשל, במשפט סטיוארט לעיל, אם $D$ נמצאת מחוץ למשולש בצד של נקודה $B$ , יש לסמן את האורך $n$ כאורך שלילי. באופן דומה, אם $D$ נמצאת מחוץ למשולש בצד של נקודה $C$ , יש לסמן את האורך $m$ כאורך שלילי. מאחר ש- $n + m = a$ ו- $a$ חיובי, לפחות אחד מהאורכים $n$ ו- $m$ חייב להיות חיובי.

הסימונים במשפט צ'בה יהיו זהים, כאשר לכל הסימון של כל קטע תלוי בכל במיקום הנקודה החותכת של הצ'ביאן עם הצלע ביחס לצלע המשולש. באופן זה, בהינתן מיקומם של שני צ'ביאנים, ניתן להשתמש במשפט צ'בה המכוון כדי לזהות אם הצ'ביאן השלישי העובר דרך אותה נקודת מפגש יחתוך את הצלע מחוץ למשולש או בתוכו.

צ'ביאנים וקטוריים

על-ידי שימוש בוקטורים אוקלידיים, ניתן לנסח את הצ'ביאן באופן וקטורי.

במקרה של המשולש המופיע בהגדרה, מסמנים $\vec{A B} = \vec{u}$ ו- $\vec{A C} = \vec{v}$ . כמו כן, מגדירים את היחס $\frac{B D}{B C} = p$ כאשר $B D$ הוא קטע מכוון.

אזי, ניתן לבטא את הצ'ביאן $A D$ בתור:

$\vec{A D} = p \vec{v} + (1 - p) \vec{u}$

ראו גם

קישורים חיצוניים

צ'ביאן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Eric W. Weisstein, Cevian, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
↑ Eric W. Weisstein, Stewart's Theorem, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
↑ John Wellesley Russell, An Elementary Treatise on Pure Geometry with Numerous Examples, Clarendon Press, 1905. (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

צ'ביאן42257596Q2319609

[1] Eric W. Weisstein, Cevian, mathworld.wolfram.com (באנגלית)

[2] Eric W. Weisstein, Stewart's Theorem, mathworld.wolfram.com (באנגלית)

[3] John Wellesley Russell, An Elementary Treatise on Pure Geometry with Numerous Examples, Clarendon Press, 1905. (באנגלית)

[1]

[2]

[3]