עיגולי גרשגורן

באלגברה לינארית, עיגולי גרשגורן מסייעים להערכת גודל הערכים העצמיים של מטריצה, באמצעות חישוב פשוט.

המונח הוא על שמו של המתמטיקאי סמיון ארונוביץ גרשגורן (Семён Аранович Гершгорин), נולד כהירשהורן (הירשהאָרן בכתיב היידישאי).

תיאור פורמלי

תהא $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$ מעל הממשיים או המרוכבים. נסמן $\ R'_{i}(A)=\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|$. כלומר, $\ R_{i}'(A)$ הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה מספר $\ i$, פרט לאיבר שנמצא באלכסון.

כעת, כל הערכים העצמיים של $\ A$ נמצאים באיחוד העיגולים הבא:

$\ \bigcup _{i=1}^{n}\left\{z\in \mathbb {C} :|z-a_{ii}|\leq R_{i}'(A)\right\}$.

הקבוצה המתוארת היא איחוד של $\ n$ עיגולים סגורים במישור המרוכב, שמרכז כל אחד מהם הוא אחד מאיברי האלכסון הראשי של $\ A$, והרדיוס של כל עיגול הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה של המרכז, פרט לאיבר זה עצמו.

עוד אומר המשפט כי אם $\ k$ מתוך העיגולים הללו יוצרים רכיב קשירות נפרד מ-$\ n-k$ העיגולים האחרים, הרי שאותו רכיב קשירות מכיל בדיוק $\ k$ מבין הערכים העצמיים.

מסקנות

מטריצה בעלת אלכסון שולט (diagonal dominant matrix) היא מטריצה שבה הערך באלכסון (בערכו המוחלט) גדול מסכום יתר האיברים בשורתו (בערכם המוחלט), כלומר $\ \forall i:|a_{ii}|>R_{i}'(A)$. תוצאה מיידית של משפט גרשגורן היא: אם מטריצה היא בעלת אלכסון שולט אז המטריצה היא הפיכה. זאת מאחר שמטריצה היא הפיכה אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, אבל שליטה אלכסונית חזקה מבטיחה שכל אחד מהעיגולים אינו מכיל את ראשית הצירים (כי המרחק של מרכזם מהראשית גדול מרדיוס העיגול).