עקומת הילברט
עקומת הילברט היא עקומה רציפה של מילוי חלל פרקטלי שתוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי דויד הילברט בשנת 1891. זוהי עקומה בעלת דמיון עצמי המבקרת בכל נקודה בתוך מרחב דו-ממדי, וממלאת אותו לחלוטין מבלי לחצות את עצמה.
העקומה נבנית על ידי התחלת קטע קו ישר ולאחר מכן החלפתו באופן איטרטיבי בתבנית של ארבעה קטעים קטנים יותר המסודרים בריבוע. לאחר מכן, הדפוס חוזר על עצמו בקנה מידה קטן יותר בכל אחד מהמקטעים הללו, והתהליך נמשך ללא הגבלת זמן. התוצאה היא עקומה שמתפתלת בכל החלל, שעוברת דרך כל נקודה פעם אחת בדיוק.
שימושים
לעקומות הילברט מספר תכונות שימושיות, מה שהופך אותן לפופולריות בתחומי מחקר שונים. במדעי המחשב, הם משמשים לעיתים קרובות למיפוי נתונים דו-ממדיים על מרחב חד-ממדי, המאפשרים אחסון ומניפולציה יעילה של נתונים. הם משמשים גם בקרטוגרפיה ליצירת מפות המשמרות את הקשרים הטופולוגיים בין מיקומים, ובדחיסת תמונה כדי לשפר את היעילות של אחסון ושידור נתונים.
בנוסף ליישומים המעשיים שלהם, עקומות הילברט נחקרה גם בשל התכונות האסתטיות והמתמטיות שלה. היא מהוווה דוגמה לעקומת מילוי חלל, בטופולוגיה ובגיאומטריה, וגם שימשה לחקר המאפיינים של פונקציות רציפות ולחקור את מושג הממדיות.
דוגמה
בנוסחה של עקומת הילברט, ישנם שני פרמטרים: n ו-p.
הפרמטר n מייצג את סדר העקומה, הקובע את קנה המידה של העקומה ומספר האיטרציות המשמשות בבנייתה. ערך גבוה יותר של n מביא לעקומה מפורטת יותר עם מספר גדול יותר של נקודות.
הפרמטר p מייצג את המיקום של נקודה על העקומה. הערך של p קובע את המיקום הספציפי של נקודה על העקומה בסולם נתון. לדוגמה, אם n הוא סדר העקומה ו-p הוא המיקום של נקודה על העקומה, אז H(n, p) מייצג את הקואורדינטות של אותה נקודה.
בנוסחה של עקומת הילברט, H(n, p) מוגדר רקורסיבי, כלומר הוא מוגדר במונחים של עצמו. באופן ספציפי, H(n,p) מוגדר במונחים של H(n-1, p) ו-H(n-1, p+2^(2n-2)), אשר בעצמם מוגדרים במונחים של H(n- 2, p) ו-H(n-2, p+2^(2(n-2)-2)), וכן הלאה. הגדרה רקורסיבית זו מאפשרת לבנות את העקומה בצורה איטרטיבית, החל מקטע קו ישר ולאחר מכן להוסיף עוד ועוד פרטים עם כל איטרציה.
דוגמה אחת לעקומת הילברט היא "עקומת הילברט בסדר n", הנבנית באמצעות התהליך הבא:
- התחל עם קטע קו ישר.
- מחלקים את הקטע לארבעה חלקים שווים, ומסדרים אותם מחדש ליצירת ריבוע, כאשר קטע הקו המקורי הוא האלכסון של הריבוע.
- חזור על התהליך בכל אחד מארבעת הקטעים, ויוצרים ריבוע קטן יותר בכל אחד.
- המשך בתהליך ללא הגבלת זמן, תוך יצירת ריבועים קטנים יותר ויותר בכל איטרציה.
- תהליך זה יכול להיות מיוצג מתמטית באמצעות הנוסחה הבאה:
H(n, p) = (H(n-1, p), H(n-1, p+2^(2n-2)))
כאשר n הוא סדר העקומה ו-p הוא מיקום הנקודה על העקומה.
לדוגמה, אם ברצוננו לבנות עקומת הילברט בסדר 2 כדי לבנות משושה, נוכל להשתמש בנוסחה לעיל כדי ליצור את הנקודות על העקומה באופן הבא:
H(2, 0) = (H(1, 0), H(1, 2)) = ((0,0), (1,0))
H(2, 1) = (H(1, 1), H(1, 3)) = ((1,0), (1,1))
H(2, 2) = (H(1, 2), H(1, 0)) = ((1,1), (0,1))
H(2, 3) = (H(1, 3), H(1, 1)) = ((0,1), (0,0))
קישורים חיצוניים
- עקומת הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)
