פונקציה קבועה

דוגמאות לייצוגים גרפים של פונקציות קבועות

פונקציה קבועה היא פונקציה שמחזירה את אותו ערך לכל איבר של תחום הגדרתה. כלומר לכל x ו-y בתחום מתקיים $f(x)=f(y)$ .

דוגמה: הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) \equiv 1} , שלכל ערך מחזירה 1, היא פונקציה קבועה. לעומת זאת, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=x } מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלמשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(0) \ne f(1) } .

הפונקציה הריקה, כלומר הפונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה, היא פונקציה קבועה באופן ריק, משום שאין x, y המקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) \ne f(y) } . יש שמגדירים פונקציה קבועה ככזו שהתחום שלה אינו ריק.

תכונות

כאשר f : A → B היא פונקציה קבועה, אזי לכל שתי פונקציות g, h : C → A, מתקיים, ביחס לפעולת ההרכבה (שתסומן o ‏): f o g = f o h.
עבור פונקציות ממשיות המוגדרות בקטע פתוח, פונקציה היא קבועה אם ורק אם היא גזירה ונגזרתה שווה ל-0 בכל נקודה. וכך גם עבור פונקציות המוגדרות על קטע סגור, כאשר מתייחסים בקצות הקטע לנגזרות החד צדדיות מימין ומשמאל בהתאמה.
- הדרישה שהקבוצה תהיה קטע הכרחית: הנגזרת של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x]} (הערך השלם) מתאפסת בקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,1)\cup (1,2)} אבל הפונקציה אינה קבועה בקבוצה.
- לא מספיק לדרוש שהתאפסות הנגזרת תהיה כמעט בכל מקום כפי שמדגימות פונקציות סינגולריות.
באופן כללי יותר, פונקציה בכמה משתנים מקבוצה פתוחה וקשירה במרחב האוקלידי ה-n ממדי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^n } , לממשיים היא קבועה אם ורק אם הגרדיאנט שלה מתאפס בכל התחום.
הגרף של פונקציה קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה- x.
בכל מרחב טופולוגי הפונקציות הקבועות הן פונקציות רציפות.
בחוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} של פונקציות מעל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הכולל את הפונקציות הקבועות, ניתן לשכן את החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} כאוסף הפונקציות הקבועות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} (לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \in R} מותאמת הפונקציה הקבועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \equiv r} ). באותה צורה ניתן לשכן חוג בחוג הפולינומים מעליו.

פונקציה קבועה מקומית

במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת קבועה באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה שבה הפונקציה קבועה. פונקציות כאלו הן תמיד רציפות. אם המרחב קשיר אז פונקציה קבועה באופן מקומי היא קבועה. עובדה זו פשוטה להוכחה ישירות מן ההגדרה. נניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב קשיר. נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in X} . מהקביעות באופן מקומי נובע ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x\in X : f(x)=f(a) \}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x \in X : f(x) \ne f(a)\}} הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . הקבוצה הראשונה אינה ריקה (a איבר שלה) ולכן מהקשירות נובע שהקבוצה השנייה ריקה. כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = f(a)} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} .

במרחבים לא קשירים יש פונקציות קבועות מקומית שאינן קבועות. למשל הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } x^2<2 \\ 0 & \mbox{if } x^2>2 \end{matrix}\right. } קבועה באופן מקומי במרחב המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb Q} .