פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית

גרף התפלגות נורמלית תקנית מצטברת (אדום) וגרף של פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית (כחול) שחושב מתוך מדגם של 50 תצפיות מתוך התפלגות נורמלית תקנית. התצפיות מסומנות בקווים ירוקים

בסטטיסטיקה, פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית היא פונקציה שמחושבת מתוך מדגם ונועדה לאמוד את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתני המדגם. פונקציה זו היא פונקציית מדרגות מונוטונית לא יורדת. משמאל לערך המדגם הנמוך ביותר היא שווה ל-0. מימין לערך המדגם הגבוה ביותר, היא שווה ל-1. בכל ערך מדגם היא גדלה ב- ${\frac {1}{n}}$ , כאשר $n$ הוא גודל המדגם.

לפי משפט גליוונקו-קנטלי (אנ'), ההתפלגות האמפירית מתכנסת כמעט בוודאות באופן אחיד להתפלגות משתני המדגם.

הגדרה

נתון מדגם מקרי, של משתנים מקריים שווי התפלגות ובלתי תלויים, $\ X_{1},\dots ,X_{n}$ . פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית של המדגם מוגדרת באמצעות,

${\widehat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(\infty ,x]}(X_{i})$

כאשר הפונקציה המציינת $\ 1_{(\infty ,x]}$ מחושבת באופן הבא,

1_{(\infty ,x]}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ t\in (\infty ,x]\\0&{\mbox{if}}\ t\notin (\infty ,x]\end{matrix}}\right.

תכונות האומד

עבור כל נקודה $x$ , כל אחד מהמשתנים המקריים $1_{(\infty ,x]}(X_{i})$ מתפלג ברנולי עם פרמטר $F\left(x\right)$ , ולכן הסכום שלהם הוא משתנה מקרי בינומי, $\sum _{i=1}^{n}1_{(\infty ,x]}(X_{i})\sim {\textrm {B}}\left(n,F(x)\right)$ .

מכאן ניתן לחשב את התוחלת ואת השונות של ${\widehat {F}}_{n}(x)$ . האומד ${\widehat {F}}_{n}(x)$ הוא אומד חסר הטיה של $\ F(x)$ , כלומר, $E\left[{\widehat {F}}_{n}(x)\right]=F(x)$ . השונות היא, $\ Var\left({\widehat {F}}_{n}(x)\right)={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}$ .

לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, ${\widehat {F}}_{n}(x)$ מתכנס כמעט בוודאות ל- $\ F(x)$ ולכן הוא אומד עקיב.

לפי משפט גליוונקו-קנטלי, ${\widehat {F}}_{n}(x)$ מתכנס כמעט בוודאות ל- $\ F(x)$ , באופן אחיד על הממשיים. כלומר, $\ \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big |}{\xrightarrow {\text{a.s}}}0$ .

לפי משפט הגבול המרכזי יש ל- ${\widehat {F}}_{n}(x)$ התפלגות אסימפטוטית נורמלית, $\ {\sqrt {n}}{\big (}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big )}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}{\Big (}0,F(x){\big (}1-F(x){\big )}{\Big )}$ .