פיתוח לפלס למולטיפולים אלקטרוסטטיים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ערך זה עוסק בפיתוח מולטיפולי חשמלי עבור פוטנציאל סקלרי. לפיתוח לפלס לדטרמיננטה של מטריצה ריבועית ראו פיתוח לפלס לדטרמיננטה.

בפיזיקה, פיתוח לפלס למולטיפולים אלקטרוסטטייםאנגלית: Laplace electrostatic potential expansion) הוא פיתוח הנועד לתאר את השפעותיו של קובץ מטענים אלקטרוסטטיים בהתפלגות כלשהי, וממנו ניתן לחשב את הפוטנציאל החשמלי, השדה החשמלי, הכוח החשמלי וכיוצא באלה. בין פיתוח זה לבין פיתוח לפלס עבור שדה כבידה ישנו דמיון רב, ובאופן כללי כוחו יפה לכל שדה פוטנציאל שהאלמנט הבסיסי שלו מייצר פוטנציאל הדועך כמו , עם השינויים המתאימים. בערך זה נתמקד בפיתוח לפלס למולטיפולים חשמליים. שמו של הפיתוח נגזר מכך שהוא הפתרון לבעיית לפלס במרוחק ממערך מטענים אלקטרוסטטיים בהתפלגות כלשהי (שהוא גם הפתרון לבעיית פואסון באזור המרוחק בו כבר אין מטענים).

אזורים שווי פוטנציאל בסביבה של (נגד כיוון השעון בהתאמה): מונופול, דיפול, קוואדרופול קלסי ותצורה אפשרית של אוקטופול.

כאשר מנתחים את השפעתם של אלמנטי מטען מורכבים, ניתן להבחין בתופעה הבאה- לכל סוג של אלמנט טעון חשמלית, הקווים שווי הפוטנציאל בתרשים הדו ממדי שונים באופיים מקווי הפוטנציאל בכל אחד משאר המקרים. קיים הבדל בצורת ההתפשטות (ממנה ניתן לגזור את כיוני השדה החשמלי) ובדעיכת צפיפות הקווים (המעידה על דעיכה של ערך הפוטנציאל באותו אזור). הניתוח המולטיפולי של השפעת מערך מטענים בנקודה רחוקה, מתמקד בעיקר באופי הדעיכה (השונה מאלמנט לאלמנט), ובעיקר כאשר נתייחס למערך רציף של מטענים, נתעניין בסדר המוביל[1] בפיתוח המולטיפולי- הסדר הראשון שלא מתאפס וממנו ניתן ללמוד על התנהגות הפוטנציאל המרחבי הנוצר. פעמים רבות, דרך זו של מציאת הפוטנציאל המרחבי, תהיה עדיפה בהרבה על פתרון בעיית לפלס (עם תנאי השפה של האזור בתוכו מתפלגים המטענים), כאשר אנו מעוניינים בפתרון עבור נקודה מרוחקת.

הפיתוח למומנטים

התפלגות אלקטרוסטטית רציפה

מערך מטענים אלקטרוסטטיים המתפלג בנפח מסוים. נניח ומערך המטענים הנ"ל הינו רציף.

נתבונן במערך מטענים אלקטרוסטטיים (שסכומם האלגברי הכולל עשוי להתאפס), כמתואר באיור.

נניח ואנו רוצים לכמת את הפוטנציאל החשמלי שיוצר מערך מטענים רציף זה בנקודה מרוחקת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , כאשר התווך הוא ריק (ולכן ערכו של הקבוע הדיאלקטרי במקרה זה הוא ).

יהי אזור מרחבי עם התפלגות המטען . ללא הגבלת הכלליות נבחר את ראשית הצירים להיות בנקודה כמתואר, כך שהמרחק בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} לאלמנט מטען ב- יהיה , המרחק מהראשית ל- יהיה והזווית בין ל- תהיה .

ממילא המרחק בין אלמנט מטען ב- ל- הוא:

ובמצב זה אלמנט פוטנציאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV\left(\vec{r}\right)} בנקודה , הנוצר מאלמנט מטען הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq} באזור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V'} , יהיה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{dq}{\left|\vec{r}-\vec{r'}\right|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{ \rho\left(\vec{r'}\right) dV'}{r\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\theta+\left(\frac{r'}{r}\right)^2}}=\frac{ \rho\left(\vec{r'}\right) dV'}{4\pi\epsilon_0r}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-2\eta\cos\theta+\eta^2}}=\frac{ \rho\left(\vec{r'}\right) dV'}{4\pi\epsilon_0r}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^{k}P_{k}(\cos\theta)}

כאשר לעיל השתמשנו בפונקציה היוצרת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2\eta x+\eta^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty}\eta^{k}P_{k}(x)} של פולינומי לז'נדר, עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta=\frac{r'}{r}} .

לאחר סופרפוזיציה מרחבית, הפוטנציאל הכולל בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} יהיה הסכום של כל אלמנטי הפוטנציאל, כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r}\sum_{k=0}^{\infty}\iiint \left(\frac{r'}{r}\right)^{k}P_{k}(\cos\theta) \rho\left(\vec{r'}\right) dV' \Rightarrow}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r}\left(\iiint \rho dV'+\frac{1}{r}\iiint r'\cos\theta \rho dV'+\frac{1}{2r^2}\iiint \left(3\cos^2\theta-1\right)r'^2 \rho dV' +\frac{1}{2r^3}\iiint \left(5\cos^3\theta-3\cos\theta\right)r'^3\rho dV'+... \right)}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV'} הוא היעקוביאן השווה ל- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx'dy'dz'} בקואורדינטות קרטזיות או ל- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r'^2\sin\theta dr' d\theta d\phi} בקואורדינטות כדוריות.

התפלגות אלקטרוסטטית בדידה

עבור מערך מטענים בדיד נוכל להשתמש בפיתוח הרציף כאשר ההתפלגות תהיה התפלגות דלתא כפונקציונל לינארי עבור פתרון דיסטריבוטיבי. כלומר, תיאור צפיפות המטען במרחב עם מטען נקודתי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} ב- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( a,b,c \right)} יהיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho \left( x,y,z \right)=q\delta \left( x-a \right)\delta \left( y-b \right)\delta \left( z-c \right)} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta \left( x \right)} היא הדלתא של דיראק.

עבור מערך מרובה מטענים (נניח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} מטענים ), מתקיים-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}\sum\limits_{i=1}^{N}{\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{q}_{i}}{{\left( \frac{{{r}_{i}}^{\prime }}{r} \right)}^{k}}{{P}_{k}}\left( \cos \theta \right)}}}

המומנטים הראשונים בפיתוח המולטיפולי

מבחינה מעשית נוכל להסתפק בסדר המוביל בפיתוח למולטיפולים חשמליים, כדי לקבל קירוב טוב לביטוי לפוטנציאל בנקודה מרוחקת. בדרך כלל נתעניין בסדרים הראשונים, שבמקרים רבים מספיקים על מנת לתאר מערכת אלקטרוסטטית ואת השפעותיה במרחב (דהיינו את הפוטנציאל החשמלי וכל הנגזר מכך). על מנת להקל על הטיפול במערכות מטענים סטטיות מסובכות, הוגדרו ארבעה אובייקטים (מומנטים) המאפיינים את ארבעת הסדרים הראשונים דלעיל: המומנט הראשון נקרא המונופול והוא הגודל הסקלרי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=q} , המומנט השני הוא מומנט הדיפול המוגדר להיות הווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}=\vec{a}q} , המומנט השלישי הוא הקוואדרופול המאופיין על ידי מטריצת מומנט הקוואדרופול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{q} = \left( \begin{array}{rrrr} \iiint x^2\rho dV' & \iiint xy\rho dV' & \iiint xz\rho dV' \\ \iiint xy\rho dV' & \iiint y^2\rho dV' & \iiint yz\rho dV' \\ \iiint xz\rho dV' & \iiint yz\rho dV' & \iiint z^2\rho dV' \end{array} \right) } של טנזור סימטרי מסדר שני, והרביעי הוא מומנט האוקטופול שייצוגו בכתיב טנזורי תלת ממדי (מסדר שלישי) הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_{ijk}=\iiint \left( 5r_i'r_j'r_k'-r'^2 \left( \delta_{jk}r_i'+\delta_{ik}r_j'+\delta_{ij}r_k' \right) \right) \rho \left(\vec{r'}\right) dV'} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} היא פונקציית הדלתא של קרונקר (להבדיל מהדלתא של דיראק בה עשינו שימוש בחלק הקודם). על ארבעת אלה ועל תכונותיהם נפרט בהמשך.

נעיר כי ניתן, תחת ההגדרות לעיל, להציג את הביטוי לפוטנציאל החשמלי באופן הבא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\epsilon }_{0}}r}\left( Q+\frac{1}{r}p+\frac{1}{2{{r}^{2}}}\left( 3\iiint_{{{V}'}}{{{z'}^{2}}}\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'-tr\left( \mathbf{q} \right) \right)+\frac{1}{2{{r}^{3}}}\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}{{O}_{ijk}}+... \right)}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle tr\left( \mathbf{q} \right)} היא עכבת מטריצת מומנט הקוואדרופול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{q}} ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{r}_i} הוא הרכיב ה- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} של וקטור היחידה בכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} .

המונופול

מונופול מייצג חלקיק נקודתי חד-קוטבי שיכול להיות טעון חיובי או שלילי. יחידות המונופול הן קולון ( ).

הפוטנציאל החשמלי שיוצר חלקיק נקודתי (ביחס לכל סקלת אורך) טעון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מסומן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{Q}}} ובריק הוא נתון על ידי הנוסחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{Q}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}} . בנוסף השדה החשמלי שיצור אותו מטען הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מסומן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{{\vec{E}}}_{Q}}} וערכו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{{\vec{E}}}_{Q}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}\hat{r}} וכתוצאה משדה אלקטרוסטטי זה יפעל כוח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{{\vec{F}}}_{Q}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{q\tilde{q}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}\hat{r}} שיהיה כוח דחייה אם המטענים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q,\tilde{q}} שווי סימן, וכאשר הם מנוגדי סימן כוח זה יהיה כוח משיכה, כך שערכו המתקבל יהיה בסימן שלילי.

באופן דומה ניתן להתייחס לצבר מטענים נקודתיים מרוכזים (באזור המרוחק מנקודת המדידה) שמומנט המונופול שלהם הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=q=\iiint{\rho \left( \vec{r'} \right)dV'}} וממנו נגזרים הפוטנציאל, השדה, הכוח, והאנרגיה האלקטרוסטטיים.

הדיפול

ניתן לראות באילוסטרציה לעיל את אופי השדה החשמלי שיוצר אלמנט דיפול. קווי השדה יוצאים מהמטען החיובי אל השלילי, ועם זאת שומרים על ההגדרה שממטען חיובי קווי השדה יצאו במאונך לקליפה כדורית אינפיניטסמלית שבמרכזה המטען החיובי, וכנ"ל עבור המטען השלילי כאשר קווי השדה נכנסים (בניצב למעטפת דמיונית כזו).

הדיפול כאלמנט מוגדר כשני מטענים נקודתיים שווי ערך ומנוגדי סימן המרוחקים האחד מהשני מרחק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} המהווה את גודלו של הווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\vec{a}}} המכוון מהמטען הנקודתי השלילי אל המטען הנקודתי החיובי[2]. יחידותיו של מומנט הדיפול הן קולון במטר ( הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ C\cdot m \right]} ).

מומנט הדיפול הוא הווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}=q\vec{a}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} הוא ערכו (המוחלט) של כל אחד משני המטענים המרכיבים את הדיפול. הפוטנציאל שיוצר אלמנט דיפול יחיד במערכת צירים פולרית, כאשר המטען הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{a}{2},0 \right)} והמטען הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -q} בנקודה , הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{dipol}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}\propto \frac{1}{{{r}^{2}}}} , וכיוון ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{E}=-\nabla V} , השדה החשמלי באותן קואורדינטות קוטביות הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{{\vec{E}}}_{dipol}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\left( 3\left( \vec{p}\cdot \hat{r} \right)\hat{r}-\vec{p} \right)} . כלומר לשדה החשמלי הנוצר מאלמנט בודד של דיפול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\vec{p}}} יש רכיב בכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\hat{r}}} , אך גם בכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\hat{\theta }}} , ושני הרכיבים הם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \begin{align} & {{{\vec{E}}}_{{\hat{r}}}}=\frac{p\cos \theta }{2\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}} \\ & {{{\vec{E}}}_{{\hat{\theta }}}}=-\frac{p\sin \theta }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}} \\ \end{align} \right.}

וכל אחד מהם דועך בקצב של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{3}}}} , בניגוד לדעיכת שדה ממונופול הדועך כ- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{2}}}} .

בקואורדינטות כדוריות נקבל תוצאה דומה, רק שהפעם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{{\vec{E}}}_{{\hat{\theta }}}}=\frac{p\sin \theta }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}} .

במצבים בהם המדידה מתבצעת בנקודה רחוקה אך לא מספיק כדי להתייחס למערך כנקודתי, או לחלופין כאשר חישוב מומנט המונופול מתאפס, ניקח בחשבון את מומנט הדיפול- חישוב המתחשב בהשפעתם של כל זוג מטענים שווי ערך ומנוגדי סימן הקרובים זה לזה כך שכמעט מבטלים את ההשפעות אחד של השני בנקודה מרוחקת ובלבד ש- איננו גדול מדי. כלומר עבור צבר דיפולים המתהווים מהתפלגות מטען נקודתי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } כלשהי, מומנט הדיפול יהיה-

וניתן לראות את השקילות המתחייבת (על מנת שנוכל לייצג את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{dipol}}\left( {\vec{r}} \right)} בצורה לעיל) להגדרה של מומנט הדיפול, שהרי אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{+}^{'}} הוא אינדקס המצביע על כל מטעני ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{-}^{'}} הוא אינדקס הרץ על כל שאר מטעני הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -q} (כך ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{\pm }^{'}=\vec{r'}} הוא אינדקס הרץ על כל מטעני המערך)- אזי כיוון ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}=\vec{r}_{+}^{'}-\vec{r}_{-}^{'}} , ברור כי-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}=\iiint{\vec{a}dq}=\iiint{\vec{r}_{+}^{'}dq}-\iiint{\vec{r}_{-}^{'}d\left( -q \right)}=\iiint{\vec{r}_{+}^{'}dq}+\iiint{\vec{r}_{-}^{'}dq}=\iiint{\vec{r'}dq}=\iiint{\vec{r'}\rho \left( \vec{r'} \right)dV'}}

הקוואדרופול

קובץ:קוואדרפולים.JPG
שני סוגים של קוואדרופול.

הקוואדרופול הוא המומנט השלישי בפיתוח למולטיפולים, והוא יכול להיות מיוצג בשני סוגים של אופנים- חד ממדי (כמו הצגת הדיפול) הנקרא קוואדרופול לינארי, או דו ממדי שהוא קוואדרופול קלסי, כמתואר באיור. עבור שתי תצורות אלו ייווצר, הרחק מהן, פוטנציאל חשמלי שבו הסדר המוביל הוא המולטיפול השלישי. יחידות מומנט הקוואדרופול הן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ C\cdot {{m}^{2}} \right]} .

בקואורדינטות פולריות ניתן לבטא את הפוטנציאל החשמלי הנוצר (בנקודה רחוקה) למשל כתוצאה מאלמנט קוואדרופול לינארי על ידי-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{L.quad}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{q{{L}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\theta -1 \right)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}

ואפשר לראות שהפוטנציאל דועך כמו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{3}}}} , לעומת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{2}}}} בדיפול ו- במונופול.

גם כאן ניתן להכליל למקרה של מערך רציף (בעל אופי של קוואדרופול[3]) עם התפלגות מטען הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho \left( \vec{r'} \right)} , כך שתיאור הפוטנציאל החשמלי המרחבי במערכת צירים כדורית יהיה-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{qua}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\iiint{\left( 3{{\cos }^{2}}\theta -1 \right)}{{{{r}'}}^{2}}\rho d{V}'}

כך שאם נציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} {{{{r}'}}^{2}}=x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}, & z'= \\ \end{matrix}{r}'\cos \theta } מיד יתקבל הביטוי-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{qua}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\iiint{\left( 3z{{'}^{2}}-\left( x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}} \right) \right)}\rho d{V}'=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\left( 3{{q}_{zz}}-tr\left( \mathbf{q} \right) \right)=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\left( 2{{q}_{zz}}-\left( {{q}_{xx}}+{{q}_{yy}} \right) \right)}

כאשר הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {q} =\left({\begin{matrix}{{q}_{xx}}&{{q}_{xy}}&{{q}_{xz}}\\{{q}_{xy}}&{{q}_{yy}}&{{q}_{yz}}\\{{q}_{xz}}&{{q}_{yz}}&{{q}_{zz}}\\\end{matrix}}\right)} ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{q}_{xy}}=\iiint_{{{V}'}}{x'y'}\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'} .

שדה חשמלי הנוצר מאלמנט קוואדרופול.

לעיתים מתייחסים למומנט הקוואדרופול כגודל הסקלרי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2{{q}_{zz}}-\left( {{q}_{xx}}+{{q}_{yy}} \right)} המאפיין אותו, על אף שאין זה ייצוגו המדויק. כיוון שהקוואדרופול הוא טנזור מסדר שני, ניתן לתאר אותו בעזרת מטריצה דו ממדית של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3\times 3} שמתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9} מרכיביה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6} הם בלתי תלויים, אך כמובן ניתן להצגה גם בכתיב טנזורי כאשר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \begin{align} & \vec{r'}\cdot \hat{r}=\sum\limits_{i=1}^{3}{r{{'}_{i}}{{{\hat{r}}}_{i}}} \\ & \vec{r'}\cdot \vec{r'}=r{{'}^{2}} \\ \end{align} \right.}

ואז פוטנציאל מומנט הקוואדרופול יראה כך-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & {{V}_{qua}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\iiint{\left( 3{{\left( \vec{r'}\cdot \hat{r} \right)}^{2}}-r{{'}^{2}} \right)\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'} \\ & \begin{matrix} {} & {} & {} & {} & =\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}} \\ \end{matrix}\iiint{\left( 3\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{r{{'}_{i}}{{{\hat{r}}}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{j=1}^{3}{r{{'}_{j}}{{{\hat{r}}}_{j}}} \right)-r{{'}^{2}} \right)\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'} \\ & \begin{matrix} {} & {} & {} & {} & =\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}} \\ \end{matrix}\sum\limits_{i,j=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}\iiint{\left( 3{{r}_{i}}'r{{'}_{j}}-r{{'}^{2}}{{\delta }_{ij}} \right)\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'}} \\ & \Rightarrow {{V}_{qua}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\sum\limits_{i,j=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}}\iiint{{{\mathbf{Q}}_{ij}}\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'} \\ \end{align}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{\mathbf{Q}}}=\left( \begin{matrix} 2x{{'}^{2}}-y{{'}^{2}}-z{{'}^{2}} & 3x'y' & 3x'z' \\ 3x'y' & 2y{{'}^{2}}-x{{'}^{2}}-z{{'}^{2}} & 3y'z' \\ 3x'z' & 3y'z' & 2z{{'}^{2}}-x{{'}^{2}}-y{{'}^{2}} \\ \end{matrix} \right)} היא מטריצה חסרת עכבה המאפיינת את מומנט הקוואדרופול ולה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5} רכיבים בלתי תלויים מתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9} .

ממילא ניתן לראות כי כאשר נחשב את מינוס הגרדיאנט של הביטוי הנ"ל, נקבל את שלושת רכיביו של השדה החשמלי, בכיוונים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\hat{r}}} , הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\hat{\theta }}} ו- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {\varphi }}} .

האוקטופול, ההקסטודופול ומולטיפולים מסדרים גבוהים

מבנה פשוט של אוקטופול.

המומנט הרביעי בפיתוח המולטיפולי הוא של האוקטופול. לאוקטופול לרוב יהיה מבנה מורכב משל הקוואדרופול, וניתן לייצגו בכמה תצורות על ידי מערך סופי של מטענים נקודתיים. הדרך הקלאסית ליצור פוטנציאל המתנהג ודועך כמו הסדר הרביעי בפיתוח למולטיפולים היא על ידי שני קוואדרופולים האחד מול השני כאשר באחד מהם מחליפים בין המטענים החיוביים והשליליים. מומנט האוקטופול יכול להיות מיוצג על ידי מטריצה תלת ממדית מסדר שלישי (מטריצה שממדיה הם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3\times 3\times 3} ), או על ידי טנזור מסדר שלישי עם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 27} רכיבים. יחידותיו של מומנט האוקטופול הן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ C\cdot {{m}^{3}} \right]} .

לפעמים נרצה להתכנס לרמת דיוק גבוהה בחישוב הפוטנציאל החשמלי המרחבי, או שאחרת נקבל תוצאה טריוויאלית, ולכן נצטרך לחשב את הסדר הרביעי בפיתוח לפוטנציאל. במצב כזה ניקח בחשבון את הביטוי-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{oct}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\epsilon }_{0}}{{r}^{4}}}\iiint{\left( 5{{\cos }^{3}}\theta -3\cos \theta \right)}{{{{r}'}}^{3}}\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'}

ונציג אותו בצורה נוחה על ידי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \begin{align} & 5r{{'}^{3}}{{\cos }^{3}}\theta =5{{\left( \vec{r'}\cdot \hat{r} \right)}^{3}}=5\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}r{{'}_{i}}r{{'}_{j}}r{{'}_{k}}} \\ & 3r{{'}^{3}}\cos \theta =3r{{'}^{2}}\vec{r'}\cdot \hat{r}=3r{{'}^{2}}\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}{{\delta }_{jk}}r{{'}_{i}}} \\ \end{align} \right.}

הרכבת אלמנט ההקסטודופול על ידי שני אוקטופולים.

כך שסדר האוקטופול בפיתוח המולטיפולי לפוטנציאל הוא פשוט-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{oct}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\epsilon }_{0}}{{r}^{4}}}\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}}\iiint{\left( 5r{{'}_{i}}r{{'}_{j}}r{{'}_{k}}-3r{{'}^{2}}r{{'}_{i}}{{\delta }_{jk}} \right)\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'}}

או לחלופין, כיוון ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3r{{'}^{3}}\cos \theta =r{{'}^{2}}\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}\left( {{\delta }_{jk}}r{{'}_{i}}+{{\delta }_{ik}}r{{'}_{j}}+{{\delta }_{ij}}r{{'}_{k}} \right)}} , נתכנס להצגה המקובלת:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{oct}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{8\pi {{\epsilon }_{0}}{{r}^{4}}}\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{{{{\hat{r}}}_{i}}}{{{\hat{r}}}_{j}}{{{\hat{r}}}_{k}}\iiint{\left( 5r{{'}_{i}}r{{'}_{j}}r{{'}_{k}}-r{{'}^{2}}\left( {{\delta }_{jk}}r{{'}_{i}}+{{\delta }_{ik}}r{{'}_{j}}+{{\delta }_{ij}}r{{'}_{k}} \right) \right)\rho \left( \vec{r'} \right)d{V}'}}

ובהתאם לפיתוח מתקבל פוטנציאל חשמלי הדועך כמו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{4}}}} ולכן השדה החשמלי ידעך כמו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{5}}}} .

היטל טסרקט במרחב אוקלידי תלת ממדי (כשם שבמרחב דו ממדי ניתן לראות צל של צורה תלת ממדית).

האוקטופול הוא האחרון ברביעיית הסדרים הראשונים שניתן לייצגם במרחב אוקלידי תלת ממדי (על ידי מערך בדיד, סימטרי ואחיד[4]) בתהליך רקורסיבי פשוט של הוספת (במקביל) היפוך השיקוף של אלמנט המומנט הקודם (למעט במונופול שהוא תנאי ההתחלה של התהליך הרקורסיבי) לקבלת אלמנט בסיס למומנט הנוכחי כקודקודיו של מצולע משוכלל (עם אותו ממד לינארי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כך ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{r}\ll 1} ).

הסימטריה הנ"ל אינה נשמרת במובן שלא ניתן למשל ליצור אלמנט הקסטודופול (אלמנט עם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{V}_{hex}}\left( {\vec{r}} \right)\propto \frac{1}{{{r}^{1+\sqrt{16}}}}=\frac{1}{{{r}^{5}}}} ) כקודקודיו של טסרקט (גוף במרחב ארבע ממדי המהווה היפרקובייה מממד 4) במרחב תלת ממדי (זאת כיוון שבמרחב כזה ניתן לתאר בסך הכל גאומטריה של ממד אפס, חד ממד, דו ממד ותלת ממד).

כתוצאה מכך, תיאור של מומנט כאלמנט נעשה מסובך ככל שמתקדמים לסדרים הגבוהים (שהולכים ונעשים זניחים, בקצב דעיכה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{n}}}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא סדר המולטיפול והוא שווה ל- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} כאשר מדובר במונופול), למשל כמו ההקסטודופול (המיוחס לסדר החמישי בפיתוח המולטיפולי ולו טנזור רב ממדי (מסדר רביעי) עם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 81} רכיבים, ודעיכת פוטנציאל כמו ושדה כ- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{{r}^{6}}}} ).

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Griffiths, David J. (2007) Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition
  • David K. Cheng (1989) Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition
  • W. J Duffin (1990) Electricity and magnetism, 4nd Edition
  • J. B. Tatum (2006) Dipole and Quadrupole Moments, Electricity and Magnetism
  • Glenn Rowe (2012) Quadrupole moment, Electrodynamics

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ בפעמים מסוימות (לא בערך זה) מקובל לאפיין את 'הסדר המוביל' כאיבר הראשון שלא מתאפס בפיתוח לטור לורן.
  2. ^ האזכור דיפול מתייחס לעיתים למומנט הדיפול.
  3. ^ דהיינו מערך מטענים שבהסתמך על מדידות (בנקודה מרוחקת) ניתן לדמות אותו לאלמנט קוואדרופול בודד.
  4. ^ במובן שערכם המוחלט של כל אחד מאלמנטי המטען הנקודתיים שווה.