קוואזי-חבורה

מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup) הנה מבנה אלגברי דומה לחבורה, בה לא נדרשים אסוציאטיביות וקיום איבר יחידה. על כן, התכונה הנדרשת בקוואזי-חבורה הנה חילוק (משמאל ומימין) של כל איבריה. מדובר במבנים כלליים יותר מחבורות, להם מבנה עשיר ומסובך יותר. לולאה (loop) הנה קוואזי-חבורה עם יחידה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללואה, אך לא בהכרח איזומורפית אליה. כל לולאה שאיזוטופית לחבורה היא גם איזומורפית אליה. לקוואזי-חבורות יש גם קשר לריבועים לטיניים - לוח הכפל של קוואזי-חבורה הנו ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה כלשהי.

הגדרה

קבוצה Q עם פעולה בינארית $\cdot$ נקראת קוואזי-חבורה אם כל איברי הקבוצה הפיכים ביחס לפעולה מימין ומשמאל. דהיינו, לכל $a,b\in Q$ קיימים ויחידים פתרונות למשוואות $a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b$. פתרונות אלו מסומנים כ-$x=a/b,\quad y=a\setminus b$.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: $x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x$. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות $(\cdot ,/,\setminus )$ אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל nXn בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר $e\in Q$ המקיים $xe=ex=x$, נקראת לולאה.

איזוטופיה

שתי קוואזי-חבורות $Q,Q'$ נקראת איזוטופיות אם קיימות שלוש העתקות הפיכות $\alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q'$ כך ש-$\gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b)$ (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-'Q בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה 'Q=Q, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים $Q\sim Q(\circ )$, כאשר $Q(\circ )$ היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים $a,b\in Q$ והגדרת הפעולה $\circ$ על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים $x\cdot y=xb\circ ay$. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי $(R_{b},L_{a},\operatorname {id} )$.

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים השלמים יחד עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
• קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
• קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
• קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.

ראו גם

• מאגמה
• חבורה למחצה
• חבורה

לקריאה נוספת

• Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24463363קוואזי-חבורה