שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

לחלק מהאינטגרלים לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא-מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים אנליזה נומרית) עבור גבולות מסוימים של אינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:

זוגיות ואי-זוגיות

כאשר יש פונקציה אי-זוגית ביחס לנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , כלומר מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(a+x)=-f(a-x)} והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , כלומר הגבולות הם מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a-b,a+b)} אזי האינטגרל הוא אפס;

למשל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_\pi^{3\pi}\sin(x)dx=0}

פונקציה זוגית סביב הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ) תוך הכפלה בשניים. למשל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{-8}^8|x|dx=2\int\limits_0^8x\,dx=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^8=\bigl[x^2\bigr]_0^8 =(64-0)=64}

חישוב במסלול סגור במישור המרוכב

כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שיווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט האינטגרל של קושי, נוסחת האינטגרל של קושי, ובעיקר משפט השאריות.

השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} המכיל את הקטע המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} ), וחישוב האינטגרל במסלול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} (אותו נסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_C} ) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול.

כך מגיעים למשוואה מהצורה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(I)=I_C} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה הפיכה בתחום המתאים ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).

דוגמה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \int\limits_0^{2\pi}\frac1{1+\sin(x)}dx&= \\ &=\left[\begin{matrix}\sin(x)=\dfrac{z-z^{-1}}{2}\\dx=\dfrac{dz}{iz}\end{matrix}\right] \\ &=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{dz}{iz}}{1+\frac{z-z^{-1}}{2}}=-\frac{i}{2}\oint\limits_{|z|=1}\frac{dz}{2z+z^2-1} \\ &=-\frac{i}{2}\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{dz}{z+1+\sqrt2}}{z+1-\sqrt2}=-\frac{i}{2}\cdot2\pi i\left[\frac1{z+1+\sqrt2}\right]_{z=-1+\sqrt{2}} \\ &=\frac{\pi}{-1+\sqrt2+1+\sqrt2}=\frac{\pi}{2\sqrt2} \end{align}}

הדגמת אינטגרל מסלולי חצי מעגלי.PNG

את האינטגרל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{pxi}{\hbar}\right)}{x^2+a^2}dx\end{align}} , כאשר , ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} לאינסוף.

תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{pxi}{\hbar}\right)}{x^2+a^2}dx=\int\limits_{-R}^R\frac{\exp\left(\frac{pzi}{\hbar}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz\end{align}}

על פי נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:

על פי למת ז'ורדן (אנ') מקבלים כי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\lim_{R\to0}\int\limits_{C_R}\frac{\exp\left(\frac{pzi}{\hbar}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz=0\end{align}}

ועל ידי הצבה מקבלים:

ובסה"כ מתקיים:

מעבר למערכת קואורדינטות אחרת

כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה.

דוגמה – חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס ):
עוברים ממערכת צירים קרטזית למערכת קואורדינטות קוטביות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}S(R)=\int\limits_0^R dy\!\!\int\limits_0^{\sqrt{R^2-y^2}}\!\!\!\!\!\!dx=\int\limits_0^Rr\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\phi=\pi R^2\end{align}}

דוגמה נוספת:

חישוב האינטגרל הבא:

שימוש בהתמרות

יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה) ולהשתמש בתכונות שלה.

לדוגמה: נחשב את .

נגדיר פונקציה . קל לבדוק כי בעלת נקודת אי-רציפות סליקה בנקודה 0, ולכן נוכל להתייחס אל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כאל פונקציה הרציפה בקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]} .

לכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g=f\left(\tfrac{t}{2}\right)} רציפה בקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [-\pi,\pi]} .

מהלמה של רימן-לבג אפשר לראות שמתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\lim_{n\to\pm\infty}\hat g(n)=\frac1{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi g(t)e^{-tni}dt=0\end{align}}

כאשר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\hat g(n)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi g(t)e^{-tni}dt\end{align}} מקדמי הפורייה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} .

לכן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi f\left(\tfrac{t}{2}\right)e^{-tni}dt=\frac1{2\pi}\lim\limits_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\frac1{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac1{\frac{t}{2}}\right)e^{-tni}dt=0}

בפרט, גם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\frac1{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\frac1{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac1{\frac{t}{2}}\right)e^{tni}dt=0\end{align}}

ולכן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1{2\pi}\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\frac1{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac1{\frac{t}{2}}\right)\sin\bigl((n+\tfrac12)t\bigr)dt=0}

כי מנוסחת אוילר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(t)=\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}}

כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1{2\pi}\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\frac{\sin\left((n+\tfrac12)t\right)}{\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)}-\frac{\sin\left((n+\tfrac12)t\right)}{\tfrac{t}{2}}\right)dt=0}

נחלק לשני אינטגרלים, ונקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1{2\pi}\cdot\frac{\sin\left((n+\tfrac12)t\right)}{\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)}dt-\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1{2\pi}\cdot\frac{\sin\left((n+\tfrac12)t\right)}{\tfrac{t}{2}}dt\right)=0}

האינטגרל השמאלי הוא אינטגרל של גרעין דיריכלה, ולכן שווה 1 לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי.

האינטגרל שנותר הוא של פונקציה זוגית, ולכן ניתן להחליף את התחום ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,\pi]} ולהכפיל ב-2:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\int\limits_0^\pi\frac1\pi\cdot\frac{\sin\left((n+\tfrac12)t\right)}{\tfrac{t}{2}}dt\right)=0}

כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^\pi\frac{\sin\left((n+\frac12)t\right)}{t}dt=\frac{\pi}{2}\end{align}}

על ידי הצבה נקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^{\left(n+\tfrac12\right)\pi}\frac{\sin(s)}{s}ds=\frac{\pi}{2}}

ומכיוון שהאינטגרל מתכנס (ממבחן דיריכלה), מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s)}{s}ds=\frac{\pi}{2}\end{align}}


ראו גם

קישורים חיצוניים