משפט השאריות

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט אינטגרל קושי ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.

ניסוח פורמלי

יהי $D$ תחום פשוט קשר ויהיו $a_1,...,a_n$ אוסף סופי של נקודות ב-$D$. יהא $D^{*}=D-\{a_1,...,a_n\}$ ותהי $f$ פונקציה הולומורפית ב-$D^{*}$. תהא $\gamma$ מסילה סגורה ב-$D^{*}$ כך שכל הנקודות $a_1,...,a_n$ מוקפות על ידה.

השארית של הפונקציה $f$ בנקודה $a_k$ היא המקדם של החזקה $(z-a_k{)}^{-1}$ בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה $a_k$. נסמן אותה $\mathrm{Res}(f,a_k)$.

כמו כן נסמן ב-$\mathrm{I}(\gamma ,a_k)$ את מספר הפעמים שבו המסילה $\gamma$ מקיפה את הנקודה $a_k$ (האינדקס של המסילה).

אז מתקיים: ${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{i=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_i)\cdot \mathrm{Res}(f,a_i)$

כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל-$2\pi i$ כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.

דוגמה

נרצה לחשב את האינטגרל הבא: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz$

נשים לב כי בתוך המעגל $\{z:\left|z\right|=2\}$ נקודת הסינגולריות היחידה של $f(z)=\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}$ היא $z=1$.

לכן, לפי משפט השאריות: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz={\oint }_{|z|=2}f(z)dz=2\pi iRes(f,1)$

נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.

כידוע לנו: $e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$. לכן: $e^{\frac{1}{z-1}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}$

נחזור לפונקציה המקורית שלנו:

$f(z)=\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}=\frac{(z-1+1)}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}=\frac{(z-1)}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}+\frac{1}{(z-1{)}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}=$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n-1}}{n!}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-1)}^{-n-2}}{n!}$

השארית היא כמו שאמרנו המקדם של האיבר $(z-1{)}^{-1}$ בטור לורן ולכן נקבל ש: $Res(f,1)=1$ .

לכן מתקיים ש: ${\oint }_{|z|=2}\frac{z{e}^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z{)}^2}dz={\oint }_{|z|=2}f(z)dz=2\pi i$

הוכחה

על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי ${\oint }_{|z-a_k|=r}f(z)dz=2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f,a_k)$ כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה $a_k$ כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.

מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה $a_k$, ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^n$. מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים ${\oint }_{|z-a_k|=r}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^{n}dz=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz$

כעת, עבור $n\ge 0$ הפונקציה $(z-a_k{)}^n$ אנליטית בכל העיגול $|z-a_k|\le r$, ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=0$.

עבור $n<-1$ מתקיים גם כן ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=0$ ואילו עבור $n=-1$ מתקיים ${\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{n}dz=2\pi i$. את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.

מכל אלו נובע כי ${\oint }_{|z-a_k|=r}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a_k{)}^{n}dz=c_{-1}{\oint }_{|z-a_k|=r}(z-a_k{)}^{-1}dz=2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f,a_k)$ כמבוקש.

ראו גם

• עקרון הארגומנט

קישורים חיצוניים

• דוגמאות והסברים על יישום משפט השאריות לפתרון אינטגרלי קונטור
• משפט השאריות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט השאריות32308283Q830513