שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

לחלק מהאינטגרלים הלא־מסוימים ניתן למצוא פתרון אנליטי כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה: . בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת המשפט היסודי) גם פתרון לאינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:

פונקציות אלמנטריות

לפונקציות שהן חזקות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , פונקציות טריגונומטריות רגילות והופכיות, פונקציית אקספוננט, לוגריתם, פונקציות היפרבוליות רגילות והפוכות וכיוצא באלו יש נגזרות אנליטיות.

כיוון שאם מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F'(x)=f(x)} אזי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)+C} הוא האינטגרל הלא-מסוים של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} – ניתן לקבל מנגזרות אלו נוסחאות מיידיות לאינטגרציה.

דוגמאות לכך הן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\ \Rarr\ \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ ,\ n\ne-1}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\ \Rarr\ \int\cos(x)dx=\sin(x)+C}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac1x\ \Rarr\ \int\frac1x dx=\ln|x|+C}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx}(a^x)=\ln(a)\cdot a^x\ \Rarr\ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}+C}

תכונת הלינאריות

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g} הן אינטגרביליות בקטע ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\beta} קבועים אזי מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\bigl[\alpha\!\cdot\!f(x)+\beta\!\cdot\!g(x)\bigr]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx}

לדוגמה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\left[\frac8{\sin(x)^2}+3\cdot8^x\right]dx=8\int\frac{dx}{\sin(x)^2}+3\int8^xdx=-8\cot(x)+\frac{3\cdot8^x}{\ln(8)}+C\end{align}}

אפשר להכליל את הנוסחה גם למספר גדול יותר של פונקציות ומקדמיהם.

אינטגרציה של פונקציות עם פרמטר לינארי

כאשר ניתן לכתוב את הפונקציה בתוך האינטגרל בצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(ax+b)} ומתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F'(x)=f(x)} אזי ניתן להשתמש בנוסחה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f(ax+b)dx=\frac{F(ax+b)}{a}+C}

אינטגרציה בחלקים

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g} , מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f(x)\!\cdot\!g'(x)dx=f(x)\!\cdot\!g(x)-\int f'(x)\!\cdot\!g(x)dx}

לדוגמה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\ln(x)dx=\int1\!\cdot\!\ln(x)dx=x\ln(x)-\int dx=x\ln(x)-x+C}

הצגה שונה של הפונקציה

לעיתים ניתן להציג את הפונקציה שבתוך האינטגרל בצורה שונה, שניתן לבצע עליה אינטגרציה בצורה קלה יותר. דוגמאות לכך הן למשל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\frac{1}{x^2-1}dx&=\frac12\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac12\big(\ln|x-1|-\ln|x+1|\big)+C=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C \\\\ \int e^x\sin(x)dx&=\int e^x\!\cdot\!\text{Im}(e^{xi})dx=\text{Im}\left(\int e^{x+xi}dx\right)=\text{Im}\left[\frac{e^{x+xi}}{1+i}\right]=\text{Im}\left[\frac{(1-i)e^{x+xi}}{2}\right]\\&=\frac{e^x\big(\sin(x)-\cos(x)\big)}{2}+C\end{align}}

פירוק לשברים חלקיים

אינטגרלים מהצורה

אפשר לפתור על ידי פירוק הפולינום לשברים חלקיים.

לדוגמה:

נרשום

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{x(1-x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}}

ניקח מכנה משותף

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(1-x)+Bx}{x(1-x)}}

נפתח סוגריים

ונשווה את מקדמי המונה איבר-איבר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=1,B-A=0}

שכן בביטוי המקורי לא מופיע במונה. פתרון מערכת המשוואות הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=1,B=1} . בסך הכל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\frac{1}{x(1-x)}dx=\int\left(\frac1x+\frac{1}{1-x}\right)dx=\ln|x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|+C\end{align}}

שיטת ההצבה

הצבה היא שיטה לפתרון אינטגרלים לא-מסוימים על ידי פישוט זמני של הפונקציה. בעזרת "הצבה" זמנית נמיר את הפונקציה לפונקציה פשוטה יותר, עבורה נמצא פונקציה קדומה. בסיומו של ההליך נבצע הצבה נוספת, כדי לחזור לצורה המקורית, ונקבל את משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית.

לאורך התהליך נהוג להחליף את האות המייצגת את משתנה האינטגרציה בכל הצבה, על מנת לזכור את ההצבות שבוצעו. בסוף התהליך, לאחר שחושבה פונקציה קדומה, ניתן להמיר את האותיות חזרה על מנת להשלים את הפעולה.

הצבה כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה

במקרה הפשוט ביותר, ננסה לחשב אינטגרל לא-מסוים מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f\bigl(\varphi(x)\bigr)\!\cdot\!\varphi'(x)dx} .

כדי לפשט את האינטגרל, "נציב" באופן זמני

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}t=\varphi(x)\\dt=\varphi'(x)dx\end{bmatrix}}

ונחשב את האינטגרל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f(t)dt} . לאחר שמצאנו קדומה כלשהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , נרכיב עליה חזרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\circ\varphi} , ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\bigl(\varphi(x)\bigr)+C} . למשל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln(x)^2}}&\ \Rarr\ \begin{bmatrix}t=\ln(x)\\dt=\frac1xdx\end{bmatrix}\\ &\ =\ \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin(t)+C=\arcsin\bigl(\ln(x)\bigr)+C\end{align}}


נוכיח את נכונות השיטה בעזרת כלל השרשרת. היא פונקציה קדומה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} , ולכן מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F'(x)=f(x)} . נסתמך על כלל השרשרת, ונקבל כי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big[F\bigl(\varphi(x)\bigr)\Big]'=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\!\cdot\!\varphi'(x)}

הצבה הפוכה

במקרה הכללי, בהינתן אינטגרל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f(x)dx} נבצע "הצבה"

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}x=\varphi(t)\\dx=\varphi'(t)dt\end{bmatrix}}

ונחשב את האינטגרל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\!\cdot\!\varphi'(t)dt} . לאחר שמצאנו קדומה כלשהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , נרכיב עליה חזרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\circ\varphi^{-1}} , ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\bigl(\varphi^{-1}(x)\bigr)+C} . למשל:


נוכיח את נכונות השיטה. הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x)} היא קדומה של הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\!\cdot\!\varphi'(x)} , ולכן מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H'(x)=h(x)} . כעת נוכל להסתמך על כלל השרשרת ועל נוסחת הגזירה של פונקציה הפוכה, ונקבל כי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\Big[H\big(\varphi^{-1}(x)\big)\Big]'&={\color{blue}f\Big(}{\color{green}\varphi\big(}\varphi^{-1}(x){\color{green}\big)}{\color{blue}\Big)}\!\cdot\!{\color{blue}\varphi'\big(}\varphi^{-1}(x){\color{blue}\big)}\!\cdot\!\big[\varphi^{-1}(x)\big]'\\ &=f(x)\cdot\frac{1}{\Big[{\color{blue}\varphi^{-1}\Big(}{\color{green}\varphi\big(}\varphi^{-1}(x){\color{green}\big)}{\color{blue}\Big)}\Big]'}\cdot[\varphi^{-1}(x)]'=f(x)\cdot\frac{1}{\big[\varphi^{-1}(x)\big]'}\cdot\big[\varphi^{-1}(x)\big]'=f(x)\end{align}}

אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית

הצבות לפתרון אינטגרל מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int R\bigl[\sin(x),\cos(x)\bigr]dx} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} פונקציה רציונלית (מנת פולינומים):

  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R\Big[-\sin(x),\cos(x)\Big]=-R\Big[\sin(x),\cos(x)\Big]} מומלץ להציב
  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R\Big[\sin(x),-\cos(x)\Big]=-R\Big[\sin(x),\cos(x)\Big]} מומלץ להציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\sin(x)}
  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R\Big[-\sin(x),-\cos(x)\Big]=R\Big[\sin(x),\cos(x)\Big]} מומלץ להציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\tan(x)} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\cot(x)}

הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{x}{2}\right)=t} . ואז מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\cos(x)&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\sin(x)&=\frac{2t}{1+t^2}\\\tan(x)&=\frac{2t}{1-t^2}\\dx&=\frac{2}{1+t^2}dt\end{align}}

הצבה זו נקראת ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית והיא מתאימה לכל אינטגרל טריגונומטרי מהצורה לעיל. הצבה אוניברסלית זו הנה פרמטריזציה של מעגל היחידה כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in(-\infty,\infty)} .

ברוב המקרים, אם ניתן להשתמש באחת מההצבות האחרות, היא תביא לפתרון מהיר יותר.

למשל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\frac{dx}{\sin(x)}&\Rarr\begin{bmatrix}t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\\dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt\\\sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2}\end{bmatrix} \\&=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C\end{align}}

הצבות לחיסול שורשים

אינטגרל מהצורה כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} מספר אי-זוגי ניתן לפתור למשל באמצעות ההצבה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^2={a^2-x^2}} . כאשר זוגי, ניתן לפתור את האינטגרל באמצעות ההצבות הבאות:

הצבות טריגונומטריות

באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה כדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אף על פי שהאינטגרל עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.

האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} קבוע חיובי ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\ge0} שלם:

  • עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^{2b}\sqrt{a^2-x^2}\,dx} תתאים ההצבה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a\cos(t)}
  • עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx} תתאים ההצבה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a\tan(t)}
  • עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx} תתאים ההצבה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{a}{\cos(t)}} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{a}{\sin(t)}}

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

  • חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\sqrt{1-x^2}\,dx&\Rarr\begin{bmatrix}x=\cos(t)\\dx=-\sin(t)dt\\t=\arccos(x)\end{bmatrix}\\&=\int-\sqrt{1-\cos^2(t)}\sin(t)dt=-\int\sin(t)\sqrt{\sin^2(t)}dt=-\int\sin^2(t)dt=\frac12\int(\cos(2t)-1)dt\\&=\frac14\sin(2t)-\frac{t}{2}=\frac{\sin(t)\cos(t)}{2}-\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{\cos(t)\sin^2(t)}-t}{2}=\frac{\cos(t)\sqrt{1-\cos^2(t)}-t}{2}\end{align}}
לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:

הצבות היפרבוליות

בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.

האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,} קבוע חיובי ו- שלם:

  • עבור תתאים ההצבה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a\sinh(t)}
  • עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx} תתאים ההצבה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a\cosh(t)}

זאת בשל הנוסחה היסודית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1} .

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חישוב אורך קשת של הפרבולה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x^2}  :

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\sqrt{1+{(x^2)'}^2}\,dx&=\int\sqrt{1+{(2x)}^2}\,dx=\int\sqrt{1+4x^2}\,dx\Rarr\begin{bmatrix}x=\frac12\sinh(t) \\dx=\frac12\cosh(t)dt\\t=\text{arsinh}(2x)\end{bmatrix}\\&=\int\sqrt{1+\sinh^2(t)}\cdot\frac12\cosh(t)dt=\frac12\int\cosh(t)\sqrt{\cosh^2(t)}dt=\frac12\int \cosh^2(t)dt=\frac14\int(\cosh(2t)+1)dt\\&=\frac18\sinh(2t)+\frac{t}{4}=\frac{\sinh(t)\cosh(t)}{4}+\frac{t}{4}=\frac{\sinh(t)\sqrt{\cosh^2(t)}+t}{4}=\frac{\sinh(t)\sqrt{1+\sinh^2(t)}+t}{4}\end{align}}
לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\sqrt{1+4x^2}\,dx=\frac{2x\sqrt{1+4x^2}+\text{arsinh}(2x)}{4}+C}

הצבות אוילר

עבור פונקציה רציונלית (מנה של שני פולינומים) ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ושורש ריבועי של פולינום ריבועי מסוים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}} , ניתן לפעמים להשתמש בהצבות שפיתח לאונרד אוילר.

  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>0} , נציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{a}x+t} (את סימן המקדם של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2+bx+c=ax^2\pm2\sqrt{a}xt+t^2,\quad(b\mp2\sqrt{a}t)x=t^2-c,\quad x=\frac{t^2-c}{b\mp2\sqrt{a}t}}
  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c>0} , נציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt c} (שוב, את הסימן ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {ax^2+bx+c=x^2t^2\pm2\sqrt{c}xt+c,\quad ax^2+bx=x^2t^2\pm2\sqrt{c}xt,\quad(a-t^2)x=\pm2\sqrt{c}t-b,\quad x=\frac{\pm2\sqrt{c}t-b}{a-t^2}}}

בשני המקרים, מגזירת הביטוי האחרון ניתן לקבל את הנגזרת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dt}} כפונקציה רציונלית של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} .

ראו גם